2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Асимптотика суммы (1/k)^{1/k} k=1..n
Сообщение29.10.2018, 18:48 
Аватара пользователя


22/11/13
497
$$\sum\limits_{k=1}^{n}(1/k)^{1/k}\approx n-\frac{\ln^2(n)}{2}+1$$
Сходится ли разность между приближением и реальным значением к константе при $n\to\infty$? Если нет, то как можно улучшить приближение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика суммы (1/k)^{1/k} k=1..n
Сообщение29.10.2018, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Вы бы написали, как именно такое получили. А так могу предложить зажать сумму между двух интегралов и брать в этих интегралах побольше первых членов соответствующих рядов Тейлора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика суммы (1/k)^{1/k} k=1..n
Сообщение29.10.2018, 19:26 
Аватара пользователя


22/11/13
497
Если исключить возможность внедрения мыслей от человека (либо иного разумного субъекта) к человеку без прямого контакта и/или без участия любого информационного носителя, то это приближение я получил сам абсолютно случайно в экселе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика суммы (1/k)^{1/k} k=1..n
Сообщение29.10.2018, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
$\left(\frac{1}{k}\right)^\frac{1}{k} = \exp(\frac{- \ln k}{k})$
Расписываем экспоненту через ряд и пристально смотрим на первые два члена и все остальные.

(а еще если интересует приближение с точностью до константы, то единица в правой части не нужна)

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика суммы (1/k)^{1/k} k=1..n
Сообщение29.10.2018, 19:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
kthxbye
Ну у меня примерно так же получается по предложенному мной способу (через первые два члена ряда), так что.. (см. также совет mihaild). А далее уточнять можно сколько угодно)

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика суммы (1/k)^{1/k} k=1..n
Сообщение29.10.2018, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Похоже, что разность можно записать в виде
$$\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{\zeta^{(n)}(n)}{n!}$$
(в числителе стоит $n$-я производная дзета-функции Римана в точке $n$).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group