2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Условие принадлежности точек заданному множеству
Сообщение18.10.2018, 22:15 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Добрый день,
допустим имеются множества:
$M=\{ x\in \mathbb{R}^2: (x-c_1)^\top P_1(x-c_1)=1,\ (x-c_2)^\top P_2(x-c_2)=1\}$

и
$M_1=\{ x\in \mathbb{R}^2: (x-a_1)^\top R_1(x-a_1)=1,\ (x-a_2)^\top R_2(x-a_2)\leq 1\},$

$M_2=\{ x\in \mathbb{R}^2: (x-b_1)^\top Q_1(x-b_1)\leq 1,\ (x-b_2)^\top Q_2(x-b_2)=1\}.$

Можно ли получить условие(ия) принадлежности(не принадлежности) $M\subset M_1\cup M_2?$ На мой скромный взгляд это очень непростая задача...
Спасибо.

-- Пт окт 19, 2018 00:25:23 --

Были мысли поставить задачу минимизации расстояния от множества $M$ до $M_1\cup M_2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Условие принадлежности точек заданному множеству
Сообщение18.10.2018, 23:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
$x\in \mathbb{R}^2: (x-x_0)^\top Y(x-x_0) \leqslant 1$ — это эллипс, соответственно, $\dots = 1$ — это его граница, $M$ — это пересечение двух границ эллипса (от 0 до 4 точек, за исключением вырожденного случая $P_1=P_2$, $c_1=c_2$), $M_1$, как и $M_2$ — часть границы эллипса, находящаяся внутри или на границе другого эллипса.
Отсюда можно плясать. Можно найти фокусы эллипсов и переписать условия в виде системы уравнений и неравенств вида $|x-p_i|+|x-q_i| = (\leqslant) r_i$. Не знаю, можно ли это назвать решением, ведь по сути у нас изначально уже есть система уравнений и неравенств.
Понятно, что численно всё решается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условие принадлежности точек заданному множеству
Сообщение18.10.2018, 23:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
worm2 в сообщении #1347474 писал(а):
$x\in \mathbb{R}^2: (x-x_0)^\top Y(x-x_0) \leqslant 1$ — это эллипс
Это только если $Y$ положительно определена. В общем случае там и гипербола, и пара прямых могут быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условие принадлежности точек заданному множеству
Сообщение18.10.2018, 23:28 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Да, положительная определенность подразумевается.
Мне требуется сам факт того, что найдется(или не найдется) хотя бы одна точка(координаты которой мне знать нет необходимости) из множества $M$, которая не принадлежит объединению $M_1$ и $M_2$. То есть, имея на руках заданные центры и определяющие матрицы, можно было дать "аналитический ответ".

 Профиль  
                  
 
 Re: Условие принадлежности точек заданному множеству
Сообщение18.10.2018, 23:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
При виде этой задачи совсем из головы вылетело, что бывают неположительно определённые квадратичные формы. Но я угадал :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Условие принадлежности точек заданному множеству
Сообщение18.10.2018, 23:41 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
1r0pb
Каждая из систем легко сводится к системе вида: многочлен 4-й степени от $y$ (результант системы); $x = \frac{A_2(y)}{A_1(y)}$ с многочленами от $y$ первой и второй степени. А вот дальше - начинается дурной перебор типа: а сколько решений у первой системы? (это надо мучить многочлен 4-й степени) Как решения первой системы (их - от 0 до 4) распределены по двум другим множествам? Например, если решений - 4, и распределены 2-2: делаем то же самое с двумя другими системами; ищем НОДы результантов главной системы, и двух других: надо, чтобы оба имели степень 2, а разность соответствующих дробей (выражающих $x$) делилась на соответствующий НОД.
Это и даст условия на коэф-ты систем. И так - для всех вариантов - жуть....

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group