2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема о продолжимости решений ДУ
Сообщение15.10.2018, 12:15 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Добрый лень.

Теорема. Пусть при любых $x\in \mathbb{R}^n$ и $t\geq0$ выполняется неравенство
$x\cdot f(x,t)<L(x^2),$

где функция $L(\cdot)$ удовлетворяет условию
$\int_{}^{\infty}L^{-1}(\varphi)d\varphi=\infty.$

Тогда решение $x(t)$ задачи Коши
$\dot{x}=f(x,t),\quad x(0)=x_0$

при любом $x_0\in \mathbb{R}^n$ определено при всех $t\geq 0.$


При доказательстве автор походя замечает то обстоятельство, что "...а в силу $\int_{}^{\infty}\frac{d\varphi}{L(\varphi)}=\infty$ решения $\varphi (t)$ уравнения $\dot{\varphi}=L(\varphi)$ ограничены при конечном $t$." Для меня этот факт совсем не очевиден... Как это осознать?
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о продолжимости решений ДУ
Сообщение15.10.2018, 13:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Решите уравнение $\dot{\varphi}=L(\varphi)$ методом разделения переменных (используя интеграл с переменным верхним пределом) и посмотрите, что было бы, если бы была возможность $\varphi\to\infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о продолжимости решений ДУ
Сообщение15.10.2018, 13:13 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Предположим, вы решаете уравнение $\dot x = v(x)$ с начальным условием $x(0)=0$. Что это значит? Это значит, что вам надо ехать из точки $0$ вдоль вещественной прямой таким образом, чтобы когда вы попадаете в точку $x$, ваша скорость была ровно $v(x)$. Предположим, что скорость $v$ положительна при $x=0$ и растёт с увеличением $x$. Тогда вам придётся ехать в сторону увеличения $x$, причём всё быстрее и быстрее. Если скорость растёт слишком быстро, то вы за конечное время $T$ проедете весь луч $[0,\infty)$, и дальше вам ехать будет некуда; иными словами, решение задачи будет определено только при $0\leqslant t <T$. (Пример: $v(x)=x^2$, или $x^3$, или ещё больше. Решите соответствующую задачу и убедитесь, что вы уедете в бесконечноть за конечное время.)

А ваше условие говорит, что скорость растёт не слишком быстро: если бы она росла слишком быстро, то обратная к ней величина бы быстро убывала и интеграл бы не был бесконечный.

1r0pb в сообщении #1346383 писал(а):
Как это осознать?
Написать решение, переменные же разделяются.

-- 15.10.2018, 14:24 --

Но, кстати, что именно значит эта фраза:
1r0pb в сообщении #1346383 писал(а):
решения $\varphi (t)$ уравнения $\dot{\varphi}=L(\varphi)$ ограничены при конечном $t$.
-- я не понимаю. Если фиксировать конечное $t$, то $\varphi(t)$ -- это одна точка; в каком смысле она должна быть ограничена? Наверно, имеется в виду ограниченность на каком-то интервале.

-- 15.10.2018, 14:28 --

А может быть, имеется в виду просто "решение существует на отрезке $[0,t]$ для любого конечного $t>0$". В общем, без контекста непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о продолжимости решений ДУ
Сообщение15.10.2018, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Slav-27 в сообщении #1346402 писал(а):
Наверно, имеется в виду ограниченность на каком-то интервале.

Я понял так: решение $\varphi$ ограничено, если $t$ пробегает ограниченный интервал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о продолжимости решений ДУ
Сообщение15.10.2018, 14:08 
Аватара пользователя


25/02/11
234
thething в сообщении #1346398 писал(а):
Решите уравнение $\dot{\varphi}=L(\varphi)$ методом разделения переменных (используя интеграл с переменным верхним пределом) и посмотрите, что было бы, если бы была возможность $\varphi\to\infty$.

Цитата:
Написать решение, переменные же разделяются.

thething, Slav-27,
а как его решить, если нет явного вида $L(\cdot)?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о продолжимости решений ДУ
Сообщение15.10.2018, 14:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
А решить -- необязательно явно. До первообразных дойдите, я ж Вам не зря про интеграл с переменным верхним пределом сказал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о продолжимости решений ДУ
Сообщение15.10.2018, 14:28 
Аватара пользователя


25/02/11
234
thething, хм, ну если применить теорему о среднем...
Допустим так: $\int_{t_0}^{t_0+\tau}\frac{d\varphi}{L(\varphi)}=\int_{t_0}^{t_0+\tau}dt=\tau.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о продолжимости решений ДУ
Сообщение15.10.2018, 14:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
А Вы вообще помните\знаете, как записывается первообразная функции $f(x)$ через интеграл с переменным верхним пределом? Если нет, то восполните этот пробел, ибо дальше подсказывать уже некуда, а выкладывание полного решения в этом разделе запрещено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о продолжимости решений ДУ
Сообщение15.10.2018, 14:37 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Фраза "решения $\varphi (t)$ уравнения $\dot{\varphi}=L(\varphi)$ ограничены при конечном $t$" действительно довольно бессмысленна. Любое решение ограничено на конечном промежутке, а если имелась в виду равномерная ограниченность, независимо от начального условия, то это просто неверно. Видимо, автор пытался сказать, что решение продолжается на всю ось (это действительно обусловлено именно расходимостью интеграла); ну так бы и сказал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о продолжимости решений ДУ
Сообщение15.10.2018, 14:37 
Аватара пользователя


25/02/11
234
thething в сообщении #1346422 писал(а):
А Вы вообще помните\знаете, как записывается первообразная функции $f(x)$ через интеграл с переменным верхним пределом? Если нет, то восполните этот пробел, ибо дальше подсказывать уже некуда, а выкладывание полного решения в этом разделе запрещено.

$F(t_0+\tau)-F(t_0)=\tau\Rightarrow F'(t_0)=1 \Leftrightarrow L(\varphi(t_0))=1.$
Все равно пока темный лес...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о продолжимости решений ДУ
Сообщение15.10.2018, 15:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
1r0pb в сообщении #1346424 писал(а):
Все равно пока темный лес...

Ну так обратитесь к учебнику, к википедии, к гуглу, а то вот это
1r0pb в сообщении #1346383 писал(а):
Добрый лень.

перестаёт уже казаться опечаткой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о продолжимости решений ДУ
Сообщение15.10.2018, 16:23 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Экий затейник автор этого учебника. Ну домножаем скалярно левую и правую часть уравнения $\dot x=f(x,t)$ на $x$. Получаем
$$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|x\|^2= x\cdot f(x,t)\le L(\|x\|^2)$$
Априорная оценка готова. А на первый взгляд может показаться, что что-то нетривиальное написано :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о продолжимости решений ДУ
Сообщение15.10.2018, 22:11 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Мда... :D
$t-t_0=\int_{t_0}^{t}\frac{\varphi'(t)dt}{L(\varphi(t))}=\int_{\varphi_0}^{\varphi(t)}\frac{d\varphi}{L(\varphi)}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о продолжимости решений ДУ
Сообщение16.10.2018, 04:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Только не следует использовать под интегралом ту же самую букву, что и в верхнем пределе. Ну и посмотрите, что происходит, если, к примеру, $t\to\infty$. При любом конечном $t$..

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: tolstopuz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group