структура группы

[bayak]

Когда две подгруппы нормальны, то группа может быть представлена как прямое произведение этих подгрупп, когда одна нормальна, то - как полупрямое произведение, а что если взять две не нормальные подгруппы, то что тут можно соорудить?

Скажем, если взять две не нормальные подгруппы унитарной группы $U(2)$, а именно группу $O(2)$ и группу диагональных матриц $D(2)$, элементы которых по модулю равны единице, то произвольная последовательность произведений из этих подгрупп будет принадлежать $U(2)$, но будет ли это вся унитарная группа? Где про это можно почитать?

PS Пока формулировал вопрос успел посмотреть на свободное произведение групп. Похоже это как раз и есть то что надо. Но вопрос про унитарную группу остаётся в силе.

[Munin]

Обсуждалось здесь:

nya в сообщении #1315556 писал(а):

Тут например

https://math.stackexchange.com/question ... t-products

https://math.stackexchange.com/question ... extensions

Wreath выглядит очень специальной конструкцией, не думаю что она имеет какое-то важное общетеоретическое значение.

[alcoholist]

bayak в сообщении #1343094 писал(а):

Когда две подгруппы нормальны, то группа может быть представлена как прямое произведение этих подгрупп

тут еще бы дополнительно что-то потребовать... коммутировать они должны, что редкость

[bayak]

alcoholist в сообщении #1343121 писал(а):

тут еще бы дополнительно что-то потребовать... коммутировать они должны, что редкость

Дополнительно можно потребовать, чтобы нормальные группы пересекались в единице ... и тогда они будут коммутировать.

В полупрямом произведении подгруппы уже не обязаны коммутировать. Во всяком случае, в группе мономиальных подстановок $S_{2}\wr S_{n}=\prod^{n}S_{2} \leftthreetimes S_{n}$ и в евклидовой группе составляющие их подгруппы не коммутируют.

Однако вопрос не в этом, а в том верно ли, что $U(2)=O(2)\ast D(2)$, где взято свободное произведение групп, описанных в первоначальном посте. Может быть тут надо показать, что всякую последовательность букв можно укоротить до слова $odo'$, где $o,o'\in O(2)$, $d\in D(2)$? И тогда из соображений совпадения размерностей групп следовало бы, что это свободное произведение совпадает с унитарной группой.

[alcoholist]

bayak в сообщении #1343311 писал(а):

Может быть тут надо показать, что всякую последовательность букв можно укоротить до слова $odo'$, где $o,o'\in O(2)$, $d\in D(2)$?

как раз в свободном произведении так не бывает, в свободном произведении $odo'd'$ никак не сокращается, если единиц нет

-- Вт окт 02, 2018 21:08:42 --

bayak в сообщении #1343311 писал(а):

... и тогда они будут коммутировать

что-то я не уверен... еще они всю группу должны всю группу порождать

-- Вт окт 02, 2018 21:18:11 --

bayak в сообщении #1343311 писал(а):

Дополнительно можно потребовать, чтобы нормальные группы пересекались в единице ... и тогда они будут коммутировать

Ну смотрите,

$$G=\langle a,b:aba^{-1}=b^{m+1},\,\,bab^{-1}=a^{n+1}\rangle.$$

Циклические подгруппы, порожденные образующими, нормальны. Не коммутируют.

[bayak]

alcoholist в сообщении #1343338 писал(а):

bayak в сообщении #1343311 писал(а):

Может быть тут надо показать, что всякую последовательность букв можно укоротить до слова $odo'$, где $o,o'\in O(2)$, $d\in D(2)$?

как раз в свободном произведении так не бывает, в свободном произведении $odo'd'$ никак не сокращается, если единиц нет

-- Вт окт 02, 2018 21:08:42 --

bayak в сообщении #1343311 писал(а):

... и тогда они будут коммутировать

что-то я не уверен... еще они всю группу должны всю группу порождать

1. А если подобрать замену $o'd'=d''o''$, то уже получим $odo'd'=odd''o''. Разве не так?

2. Насчёт эквивалентности формулировок прямого произведения это я не от себя, а подсмотрел теорему в учебнике Фаддеева.

[alcoholist]

bayak в сообщении #1343342 писал(а):

Разве не так?

такого в свободных группах не бывает, читайте определение

bayak в сообщении #1343342 писал(а):

подсмотрел теорему в учебнике Фаддеева

я же пример привел) А что там у ДК?

[g______d]

bayak в сообщении #1343311 писал(а):

Однако вопрос не в этом, а в том верно ли, что $U(2)=O(2)\ast D(2)$, где взято свободное произведение групп, описанных в первоначальном посте.

Нет, неверно. Пример нетривиального соотношения:

$$ \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}. $$

[bayak]

У ДК в лекциях по алгебре в параграфе о прямом произведении групп есть предложение 1 и теорема 2 (страницы 257,258). В предложении сказано, что если две группы нормальны и пересекаются в единице, то группы коммутируют (произведения из этих групп можно менять местами), а в теореме сказано, что произведение этих двух нормальных групп и есть прямое произведение.

Почитал определения. Свободные группы, свободные произведения - это какой-то ужас, - даже не понял, что такое дополнительные (нетривиальные) соотношения. Однако понял (спасибо g______d и alcoholist), что это не мой случай, поэтому даже не хочется погружаться в тему. И всё же, как называется группа составленная из всевозможных цепочек произведений элементов, взятых из двух подгрупп, и верно ли, что унитарная группа совпадает с этим цепным произведением групп $O(2)$ и $D(2)$?

[g______d]

bayak в сообщении #1343484 писал(а):

И всё же, как называется группа составленная из всевозможных цепочек произведений элементов, взятых из двух подгрупп

Подгруппа, порождённая этими двумя подгруппами.

bayak в сообщении #1343484 писал(а):

и верно ли, что унитарная группа совпадает с этим цепным произведением групп $O(2)$ и $D(2)$?

Да, верно. Ищите в гугле по ключевым словам "euler angles SU(2)". Как перейти от $\mathrm{SU}(2)$ к $\mathrm{U}(2)$ -- сами догадайтесь.

-- Ср, 03 окт 2018 19:55:15 --

bayak в сообщении #1343484 писал(а):

Свободные группы, свободные произведения - это какой-то ужас, - даже не понял, что такое дополнительные (нетривиальные) соотношения.

Ну ужас... но не ужас ужас ужас, всего лишь первый курс алгебры.

[bayak]

Спасибо, g______d. Действительно, параметризация специальной унитарной группы углами Эйлера это наша матрица типа $dod'$, где $d,d'$ это специальные диагональные матрицы, а $o\in SO(2)$. С другой стороны, как мне кажется, возможна и другая параметризация - $odo'$, которая (из соображений размерности групп) легко обобщается на $SU(N)$. По-моему с геометрической точки зрения это привлекательная параметризация, поскольку она показывает, что унитарная группа описывает симметрии N-мерного тора, натянутого на N-мерную сферу с выколотыми полюсами.

[g______d]

bayak в сообщении #1343671 писал(а):

С другой стороны, как мне кажется, возможна и другая параметризация - $odo'$

Это то же самое: перейдите в базис, который диагонализует $o$.

bayak в сообщении #1343671 писал(а):

которая (из соображений размерности групп) легко обобщается на $SU(N)$.

Я думаю, что даже в самом оптимистичном случае это будут многомерные углы Эйлера. В пессимистичном -- будет ничего.

bayak в сообщении #1343671 писал(а):

По-моему с геометрической точки зрения это привлекательная параметризация, поскольку она показывает, что унитарная группа описывает симметрии N-мерного тора, натянутого на N-мерную сферу с выколотыми полюсами.

По-моему, вы одни и те же глупости пишете уже лет 10, и так ни разу не смогли сформулировать теорему.

[bayak]

g______d в сообщении #1344013 писал(а):

Это то же самое: перейдите в базис, который диагонализует $o$.

Это вы про базис алгебры Ли, которая порождает одно-параметрическую группу Ли?

g______d в сообщении #1344013 писал(а):

Я думаю, что даже в самом оптимистичном случае это будут многомерные углы Эйлера. В пессимистичном -- будет ничего.

Насколько я понимаю, всякая много-параметрическая группа порождается своими одно-параметрическими подгруппами, поэтому многомерные углы Эйлера, конечно, вылезут, если нам нужна параметризация, но в моём примере этого и не требуется.

g______d в сообщении #1344013 писал(а):

По-моему, вы одни и те же глупости пишете уже лет 10, и так ни разу не смогли сформулировать теорему.

А разве тут нужна какая-то теорема. Одна подгруппа описывает симметрии сферы с фиксированной точкой, а вторая - симметрии тора. Осталось соединить это в одной фигуре. Выкалываем из сферы полюса и устраняем топологические препятствия, а дальше включаем геометрическое воображение.

[g______d]

bayak в сообщении #1344355 писал(а):

А разве тут нужна какая-то теорема. Одна подгруппа описывает симметрии сферы с фиксированной точкой, а вторая - симметрии тора. Осталось соединить это в одной фигуре. Выкалываем из сферы полюса и устраняем топологические препятствия, а дальше включаем геометрическое воображение.

Это набор слов, понимания которых вы пока не продемонстрировали. Если вы не можете сформулировать эту фразу в виде теоремы, то я не уверен, что дискуссия будет конструктивной, пока не сможете. К сожалению, за последние 10 лет никакого прогресса в вашем понимании собственных "конструкций" не наблюдается. Грустно на самом деле, некоторые участники форума уже успели по нескольку диссертаций защитить, а вы как не могли натянуть сову на глобус тор на сферу, так и не можете...

bayak в сообщении #1344355 писал(а):

Это вы про базис алгебры Ли, которая порождает одно-параметрическую группу Ли?

Нет. Возьмите какую-нибудь матрицу из $o\in \mathrm{SO}(2)$ (не кратную единичной). Найдите такую унитарную матрицу $u$, что $uou^{-1}$ диагональна. Далее, поймите, что если любой элемент $\mathrm{U}(2)$ представим в виде $dod'$, то с помощью сопряжения матрицей $u$ любой элемент будет представим в виде $odo'$.