Топологическая комбинаторика

[Soul Friend]

Здравствуйте. Искал явную формулу вот этого:

$n$ - количество колец (множеств), надо посчитать количество их комбинации взаимосвязей. (без повторений и зеркального отображения)
Для $n=4$ насчитал больше 45.
Гуглил: топологическая комбинаторика, количество отношений на множестве, тернарное дерево, теория колец.
Явной формулы не нашёл. Подскажите к чему это относится.
Комбинация кругов Эйлера - Венна ?

[arseniiv]

Теория колец — это вы дали! Она немного не о том.

Если так посмотреть на эти конфигурации, не думается, что есть простая формула для их числа — тут ограничения хитрые, потому что кольцу может не удаться покрыть какой-то набор областей, порождённых предыдущими кольцами, а ещё могут быть сомнительные комбинации, корректность которых зависит от того, считать ли гомеоморфные окружности негладкие кривые кольцами.

[DeBill]

Soul Friend
Надо бы определиться, с чем мы работаем...
Рзличаем ли мы кружочки (первый внутри второго - то же, что второй внутри первого? Если - да, то, возможно, формула будет попроще).

Кружочки - это просто множества? Для трех: а почему нет "два непересекающихся внутри третьего"? Или: цепочка из трех, но без тройного пересечения? Или: "палка" еще и наружу торчит?
И что есть "структура"? Кто в ком и как лежит? Может, стоит рассмотреть все комбинации пересечений множестп/их дополнений, и обозвать структурой набор из нулей и единиц, говорящий, какие из них - непустые? Тогда ответом будет - перечисление количества всех непротиворечивых структур?

[Soul Friend]

DeBill в сообщении #1300729 писал(а):

Надо бы определиться, с чем мы работаем...
Рзличаем ли мы кружочки (первый внутри второго - то же, что второй внутри первого?

Круги не нумеруются (не различаем).

DeBill в сообщении #1300729 писал(а):

Для трех: а почему нет "два непересекающихся внутри третьего"?

Верно, я не додумал, спасибо.

-- 31.03.2018, 23:55 --

arseniiv в сообщении #1300728 писал(а):

тут ограничения хитрые, потому что кольцу может не удаться покрыть какой-то набор областей

Нет, не обязательно чтобы были кольца, можно гнуть, но не разрывать и скручивать. Но может быть после определённого значения $n$ даже негладкие кривые не помогут.

[grizzly]

Я помню похожую штуку на MSE разбирали -- было довольно интересно. Три окружности разного, в общем случае, радиуса и все топологически разные конфигурации их вложений, пересечений, касаний. Уже для трёх окружностей число вариантов было порядка полусотни, кажется (точно не помню, давно было; сейчас пробежался поиском, но не нашёл). К общей формуле там даже не подступились.

[arseniiv]

Soul Friend в сообщении #1300732 писал(а):

Нет, не обязательно чтобы были кольца, можно гнуть, но не разрывать и скручивать. Но может быть после определённого значения $n$ даже негладкие кривые не помогут.

А, ну тогда если снять требование гомеоморфности кольца окружности, но оставив, конечно, требование замкнутости кривой, её внутренностью (точнее, наибольшим замкнутым ограниченным множеством, чьей границей является эта кривая) смогут быть «бусины», соединённые «нитками», вот эти нитки можно будет пропустить через любые границы областей, которые нам будут мешать. Так что, по идее, предложение DeBill

DeBill в сообщении #1300729 писал(а):

Может, стоит рассмотреть все комбинации пересечений множестп/их дополнений, и обозвать структурой набор из нулей и единиц, говорящий, какие из них - непустые? Тогда ответом будет - перечисление количества всех непротиворечивых структур?

будет в самый раз — все такие комбинации должно будет можно реализовать.

-- Вс апр 01, 2018 02:10:46 --

Нет, я чересчур обобщил. Как оставить в рассмотрении кривые, которые тут нужны, но не вводить страшные, я тут спасую.

-- Вс апр 01, 2018 02:12:15 --

Хотя, допустим, гладкие за исключением конечного числа точек должны сойти.

[DeBill]

А кружочки - выпуклые? Тогда теорема Хелли будет задавать какие-то ограничения.
А если - только связные - то планарность графа будет существенна...
И для трех: еще минимум две пропущенных картинки.

[grizzly]

grizzly в сообщении #1300752 писал(а):

Я помню похожую штуку на MSE разбирали -- было довольно интересно.

Вот эта ссылка (нашёл на свежую голову :)

[Soul Friend]

grizzly в сообщении #1300815 писал(а):

Вот эта ссылка
(нашёл на свежую голову :)

похоже, но у нас без kissing-а ( извените что обобщаю)
Для заданного $n$ "колец" (множеств) можно максимально построить $n^2-(n-1)$ подмножеств.
И нужно подсчитать количество построении (вариации) подмножеств, не меняя количества множеств (то есть $n$). Или может я неправильно выражаюсь, не подмножеств, а вариации всевозможных операции с этими множествами?

То что предлагает уважаемый DeBill я пока не осмыслил (не осилил).

[Soul Friend]

grizzly
в вашей ссылке содержался ответ, я был не внимателен, спасибо.

как вариант пока сойдёт последовательность A250001



Возможно, эта последовательность ближе к рассмартиваемой мной "чего-то там". A288559

[Soul Friend]

DeBill в сообщении #1300780 писал(а):

Тогда теорема Хелли будет задавать какие-то ограничения.

так же и проблема четырёх красок.

[Soul Friend]

В недавней статье, от October 2018 Volume 65 · Issue 09, в "Notices of the AMS" упоминается OEIS и эти круги.