Взаимно простые идеалы

[Nomo]

Рассмотрим коммутативное кольцо R и идеалы $I_1,I_2\subset R$. Для решения одной задачи мне требуется доказать тот факт, что из того, что $I_1,I_2$ - взаимно простые идеалы следует $I_1I_2=I_1\cap I_2$. Идеалы $I_1, I_2$ называются взаимно простыми, если $I_1+I_2=R$. (вики говорит, что сумма идеалов это наименьший идеал, содержащий объединение слагаемых идеалов). В одну сторону включение верно всегда (произведение лежит в пересечении). Не могу придумать как использовать данное определение взаимной простоты, чтобы строго доказать от противного обратное включение. Можете подсказать как это лучше сделать?

[mihaild]

Рассмотрим кольцо $R$ четных чисел и идеалы $I_1 = I_2 = R$. $I_1 + I_2 = R$ (любое четное число $x$ представимо в виде суммы четных чисел $(x + 2)$ и $-2$). $I_1 \cap I_2 = R$. Но всевозможные попарные произведения элементов $I_1$ и $I_2$ порождают собственный идеал - чисел, делящихся на $4$. Т.е. $I_1 I_2 \neq i_1 \cap I_2$.
(возможно что я не понимаю чего-то очевидного, но, кажется, ошибка в условии)

Nomo в сообщении #1339215 писал(а):

В одну сторону включение верно всегда (произведение лежит в пересечении).

Т.е. вы доказываете в сторону "если взаимно простые, то равенство выполнено"? А в сторону "если равенство выполнено, то взаимно просты" доказать можете?

[iou]

mihaild в сообщении #1339217 писал(а):

Рассмотрим кольцо $R$ четных чисел

Наверное, ТС хочет, чтоб в кольце была единица.

[Nomo]

Цитата:

Наверное, ТС хочет, чтоб в кольце была единица.

Видимо да ( : Либо можно потребовать, чтобы идеалы были собственными подмножествами кольца.

mihaild в сообщении #1339217 писал(а):

Nomo в сообщении #1339215 писал(а):

В одну сторону включение верно всегда (произведение лежит в пересечении).

Т.е. вы доказываете в сторону "если взаимно простые, то равенство выполнено"? А в сторону "если равенство выполнено, то взаимно просты" доказать можете?

Я не совсем это имел в виду. Говоря про одну сторону, я лишь хотел сказать, что произведение лежит в пересечении. Мне нужно доказать только необходимость, то есть, что из взаимной простоты следует равенство.

[mihaild]

Nomo в сообщении #1339223 писал(а):

Видимо да ( : Либо можно потребовать, чтобы идеалы были собственными подмножествами кольца.

Сформулируйте хотя бы условия тогда. А то давайте вообще потребуем, чтобы кольцо было полем, тогда всё совсем просто станет.

Nomo в сообщении #1339223 писал(а):

Я не совсем это имел в виду

А, пардон, я читать не умею, мне показалось, что речь про эквивалентность.

[Nomo]

mihaild в сообщении #1339224 писал(а):

Nomo в сообщении #1339223 писал(а):

Видимо да ( : Либо можно потребовать, чтобы идеалы были собственными подмножествами кольца.

Сформулируйте хотя бы условия тогда.

По условию мне требуется доказать, что в коммутативном кольце R для любых взаимно простых идеалов $I_1,I_2\subsetR$ естественное отображение $R/I_1I_2 \rightarrow R/I_1\cap I_2$ является изоморфизмом. Но как выяснилось такое условие некорректно и надо дополнительно потребовать наличие единицы в кольце

[mihaild]

Nomo в сообщении #1339227 писал(а):

естественное отображение $R/I_1I_2 \rightarrow R/I_1\cap I_2$ является изоморфизмом

А что вы тут называете естественным отображением? Класс элемента $x$ в левом факторкольце переходит в класс элемента $x$ в правом?

[Nomo]

mihaild в сообщении #1339230 писал(а):

Nomo в сообщении #1339227 писал(а):

естественное отображение $R/I_1I_2 \rightarrow R/I_1\cap I_2$ является изоморфизмом

А что вы тут называете естественным отображением? Класс элемента $x$ в левом факторкольце переходит в класс элемента $x$ в правом?

Да

[mihaild]

Ну тогда да, это равносильно $I_1 I_2 \ I_1 \cap I_2$.
Итак, кольцо с единицей, идеалы взаимно просты. Тогда $e = a + b$, где $a \in I_1, b \in I_2$ (докажите, что $I_1 + I_2 = \{a + b | a \in I_1, b \in I_2\}$.
Возьмем $x \in I_1$. Как его представить в виде произведения элементов кольца? а элементов из $I_1$ и $I_2$?

[Nomo]

mihaild в сообщении #1339233 писал(а):

Возьмем $x \in I_1$. Как его представить в виде произведения элементов кольца?

Не понял вопрос.

mihaild в сообщении #1339233 писал(а):

а элементов из $I_1$ и $I_2$?

Тоже не понял. Элемент $x$ можно представить в виде произведения элементов из $I_1$ и $I_2$ только если он лежит в их произведении.

[mihaild]

Nomo в сообщении #1339235 писал(а):

Не понял вопрос.

Найдите такие элементы $a$ и $b$ из кольца, что $ab = x$.

Nomo в сообщении #1339235 писал(а):

Тоже не понял.

Пользуясь тем, что идеалы взаимно просты и ответом на предыдущий вопрос, найдите такие $a \in I_1, b \in I_2$ что $ab = x$.

[Nomo]

Я всё-таки чего-то недопонимаю. Про элемент $x$, как и про идеал $I_1$ ведь ничего не известно. Можно взять $1\cdot x$ и это представление в виде произведения элементов кольца.

[mihaild]

Правильно. А теперь воспользуйтесь тем, что идеалы взаимно простые, и переделайте представление $1 \cdot x$ в представление вида "сумма произведений элементов первого идеала на элемент второго".

[Nomo]

Всё что я могу придумать это воспользоваться взаимной простотой и расписать единицу в виде суммы двух элементов - один из первого идеала, второй из второго. Но как представить $1\cdot x$ в виде суммы произведений элементов первого идеала на элемент второго не знаю.

[mihaild]

Nomo в сообщении #1339812 писал(а):

Всё что я могу придумать это воспользоваться взаимной простотой и расписать единицу в виде суммы двух элементов - один из первого идеала, второй из второго.

Ну вот распишите.
(в таких задачах вообще очень полезно писать формулы - становится лучше видно то, что по словам видно плохо)