2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение14.09.2018, 12:04 


05/09/16
11453
mihiv в сообщении #1338885 писал(а):
Найдем, например,

А можно для примера найти для сравнимых $b$ и $n$, $\int \limits_{0}^5 \sin(x) \sin(100/x)dx$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение14.09.2018, 12:21 
Заслуженный участник


03/01/09
1676
москва
Этот способ лучше работает для небольших $b$ и больших $n$. Найдем $\int \limits _0^1 ,n=100$. По формуле (1) при $k=1, I\approx 10^{-2}\sin1\cos 100\approx 7.26\cdot 10^{-3 }$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение14.09.2018, 12:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9457
Москва
wrest в сообщении #1338859 писал(а):
Евгений Машеров в сообщении #1338837 писал(а):
Ну, я предположу, что объясняется тем, что стандартные процедуры интегрирования используют равномерную сетку.

В документации на PAR/GP написано что используется "double-exponential method".
Так что вряд ли это означает обычные прямоугольники (или трапеции).


Насколько я понимаю, это предложенный Такахаши и Мори способ выбора точек для метода трапеций, позволяющий считать интегралы с бесконечными пределами.
https://www.ems-ph.org/journals/show_pd ... =3&rank=12

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение14.09.2018, 13:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4317
А можно уточнить, всё же, задачу? А то многие тут берут нижний предел $0$, хотя ТС (после введения $n$) объявил его $1$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение14.09.2018, 13:15 


12/09/18
39
Geen в сообщении #1338905 писал(а):
А можно уточнить, всё же, задачу? А то многие тут берут нижний предел $0$, хотя ТС (после введения $n$) объявил его $1$...

Вообще 0 не нужен, но если можем посчитать от нуля, то от единицы тоже легко посчитаем.

mihiv в сообщении #1338895 писал(а):
Этот способ лучше работает для небольших $b$ и больших $n$.

Спасибо большое, очень конструктивное предложение. У нас $b$ действительно значительно меньше $n$, правда не настолько. Для $n=100$, например, $b=15$. Не знаю "то" это или не "то", но сходимость вроде бы неплохая должна быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение14.09.2018, 13:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4317
Student2018 в сообщении #1338908 писал(а):
Вообще 0 не нужен, но если можем посчитать от нуля, то от единицы тоже легко посчитаем.

Ну просто с $1$ немного более симметрично получается. Например (если "забыть" про экспоненциальный множитель) так http://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot%5BSin%5BExp%5B3%2Bx%5D%5D*Sin%5BExp%5B3-x%5D%5D,+%7Bx,-3,3%7D%5D

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение15.09.2018, 16:26 


12/09/18
39
mihiv
Ваша формула работает, правда сходимость быстро ухудшается с увеличением $b$. В любом случае это лучшее решение. Скажите, можно где-нибудь посмотреть как она выводится, или хотя бы откуда она?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение16.09.2018, 11:25 
Заслуженный участник


03/01/09
1676
москва
Student2018 в сообщении #1339173 писал(а):
как она выводится, ?


Просто интегрируем по частям: $$I_n=\int \limits _0^b\sin x\cdot \sin \frac nxdx=\frac 1n\int \limits _0^bx^2\sin x\cdot (\frac n{x^2}\sin \frac nx)dx=\frac 1nF_1(x)\cos \frac nx|\limits _0^b-\frac 1n\int \limits _0^bF_1'(x)\cos \frac nxdx$$Затем берем по частям интеграл с $F_1'$ и т.д., всего $k$ раз. В результате получим:$$I_n=\frac 1nF_1(b)\cos \frac nb +\frac 1{n^2}F_2(b)\sin \frac nb-\frac 1{n^3}F_3(b)\cos \frac nb-\dots +\dfrac {(-1)^{\frac {k(k+1)}2}}{n^k}R_k$$Знаки перед обратными степенями $n$ идут в таком порядке:$+,+,-,-$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение16.09.2018, 13:08 


12/09/18
39
mihiv
Все ясно. А у меня со знаками были проблемы и интеграл в начале сокращался :shock: Теперь дошло. Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 54 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: epros


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group