2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Знакочередование a(n)=a(22+n)
Сообщение10.09.2018, 23:21 
Аватара пользователя


22/11/13
498
Имеем
$$\frac{1}{e^x+\frac{\pi}{2}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}F_{n}\frac{x^n}{n!}$$
где
$$F_{n}=a(n)\cdot|F_{n}|$$
тогда
$$a(n)=a(22+n)$$
Аналогично для
$$\frac{1}{e^x+\frac{e}{2}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}F_{n}\frac{x^n}{n!}$$$$a(n)=-a(22^2+n)$$
В общем виде для первого случая
$$a(n)=(-1)^k\cdot(11k+n)$$
и для второго
$$a(n)=(-1)^k\cdot(484k+n)$$
В Maple на моём пк можно вычислить максимум 2293 членов (на пике кушает 1,6 Гб, выдаёт через ~4 минуты 47 секунд). Контрипримеров в этих рамках нет. Что можно подкрутить в Maple чтобы он выдал больше? В каких ещё программах можно провести подобные вычисления, но с большим успехом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакочередование a(n)=a(22+n)
Сообщение11.09.2018, 10:57 
Заслуженный участник


20/08/14
11069
Россия, Москва
kthxbye в сообщении #1337979 писал(а):
$$\frac{1}{e^x+\frac{\pi}{2}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}F_{n}\frac{x^n}{n!}$$
Непонятно как раскрывать $0^0$ в первом слагаемом справа при $x=0$.
kthxbye в сообщении #1337979 писал(а):
$$F_{n}=a(n)\cdot|F_{n}|$$
Надеюсь $F_n$ это числа Фибоначчи, стоило об этом написать прямо. Ну и определять $F_n$ через него же - тавтология, писали бы уж прямо под знаком суммы умножение на модуль (что кстати бессмысленно т.к. все числа Фибоначчи положительны). Короче объясняйте что собственно здесь написано.
kthxbye в сообщении #1337979 писал(а):
$$a(n)=a(22+n)$$
А первые 22 значения $a(0..21)$ что, можно задать произвольно?! Если нельзя, то приведите их. Ну и обычно задают начальные значения и производящую формулу, а не наоборот.
kthxbye в сообщении #1337979 писал(а):
В Maple на моём пк можно вычислить максимум 2293 членов (на пике кушает 1,6 Гб, выдаёт через ~4 минуты 47 секунд). Контрипримеров в этих рамках нет.
Т.е. Вы посчитали сумму справа (при каком $x$ кстати?) до $n=2293$ и она - что? И что такое "контрпример" к формуле? При том что слагаемые справа очень быстро убывают и уже 2293-е намного меньше $10^{-6200}$ (если $x=1$ и все $a()$ близки к 1) - т.е. остаток ряда вполне можно ограничить неким другим хорошо сходящимся рядом и доказать сходимость исходной суммы. А уж проверять численно к левой ли части она сходится - извините, не слишком продуктивно, ведь даже триллионы знаков такой гарантии не дадут, так что парой тысяч членов вполне можно ограничиться, точность уже будет порядка 6000 знаков, куда уж больше, ИМХО. Ну или я не понимаю чего-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакочередование a(n)=a(22+n)
Сообщение11.09.2018, 12:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Dmitriy40
Думаю, что через $F_n$ просто обозначены коэффициенты разложения в ряд. Формула через модуль объясняет, что такое $a(n)$ -- это знаки: или плюс, или минус. Согласен, что записано всё не очень прозрачно, но само по себе наблюдение весьма любопытно.

Эти коэффициенты разложения в ряд как-то легко рассчитываются в мат.пакетах? Действительно, это может быть интересно понять, почему есть такие закономерности, и как они связаны между первой и второй формулой. (Я сам, увы, помочь вряд ли смогу, но мне это любопытно.)

Присоединяюсь к вопросам привести подробнее то, что уже удалось выяснить.

-- 11.09.2018, 12:08 --

Контрпример к формуле -- найти такое $n$, при котором не выполняется $a(n)=a(n+22)$ (для первого случая).

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакочередование a(n)=a(22+n)
Сообщение11.09.2018, 12:47 


05/09/16
11469
kthxbye
PARI/GP считает и дальше, например $10000$ членов первой последовательности за $40$ секунд.
Но вдруг я чего не так делаю -- сравните знаки $2000,2001,2002$ членов. У меня получились:
$a(1)=1$
$a(2)=-1$
$a(2000)=-1$
$a(2001)=1$
$a(2002)=1$
$a(9997)=1$
$a(9998)=-1$
$a(9999)=-1$
$a(10000)=1$

-- 11.09.2018, 12:53 --

grizzly в сообщении #1338078 писал(а):
Контрпример к формуле -- найти такое $n$, при котором не выполняется $a(n)=a(n+22)$ (для первого случая).

Среди первых $10 000$ членов разложения таких нашлось два:
$n=4137;a(4137)=1;a(4159)=-1$
$n=4148;a(4148)=-1;a(4170)=1$
kthxbye
Сорри. :oops: Но лучше, конечно, проверить.
Еще возможно у меня смещение в $n$ на единицу (считаю с $1$ а не с $0$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакочередование a(n)=a(22+n)
Сообщение11.09.2018, 13:32 
Аватара пользователя


22/11/13
498
Dmitriy40, grizzly, wrest, благодарю за комментарии!
Dmitriy40 в сообщении #1338063 писал(а):
Непонятно как раскрывать $0^0$ в первом слагаемом справа при $x=0$.
Как и большинстве случаев, мы принимаем $0^0=1$.
Dmitriy40 в сообщении #1338063 писал(а):
Надеюсь $F_n$ это числа Фибоначчи, стоило об этом написать прямо. Ну и определять $F_n$ через него же - тавтология, писали бы уж прямо под знаком суммы умножение на модуль (что кстати бессмысленно т.к. все числа Фибоначчи положительны). Короче объясняйте что собственно здесь написано.
Как указал далее grizzly,
grizzly в сообщении #1338078 писал(а):
Думаю, что через $F_n$ просто обозначены коэффициенты разложения в ряд. Формула через модуль объясняет, что такое $a(n)$ -- это знаки: или плюс, или минус.
по аналогии с такими известными тождествами, как
$$\frac{x}{e^x-1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}B_{n}\frac{x^n}{n!}$$
или
$$\frac{2}{e^x+1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}E_{n}\frac{x^n}{n!}$$
Знакочередование в них, к счастью, на порядок проще.
Dmitriy40 в сообщении #1338063 писал(а):
А первые 22 значения $a(0..21)$ что, можно задать произвольно?! Если нельзя, то приведите их. Ну и обычно задают начальные значения и производящую формулу, а не наоборот.

В пп я также указал более общий вид этой формулы:
kthxbye в сообщении #1337979 писал(а):
$$a(n)=(-1)^k\cdot(11k+n)$$
Ниже привожу первые 11 ($n=0\cdots10$) знаков:
$$1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1$$
Dmitriy40 в сообщении #1338063 писал(а):
Т.е. Вы посчитали сумму справа (при каком $x$ кстати?) до $n=2293$ и она - что? И что такое "контрпример" к формуле? При том что слагаемые справа очень быстро убывают и уже 2293-е намного меньше $10^{-6200}$ (если $x=1$ и все $a()$ близки к 1) - т.е. остаток ряда вполне можно ограничить неким другим хорошо сходящимся рядом и доказать сходимость исходной суммы. А уж проверять численно к левой ли части она сходится - извините, не слишком продуктивно, ведь даже триллионы знаков такой гарантии не дадут, так что парой тысяч членов вполне можно ограничиться, точность уже будет порядка 6000 знаков, куда уж больше, ИМХО. Ну или я не понимаю чего-то.

Эти знаки мне выдал Maple, после того, как я ввел туда следующее:
Код:
S:= series(1/(Pi/2 + exp(x)), x, 2294):
seq(signum(coeff(S, x, j)), j=0..2293);
Похожий на этот код я взял из A210247, где его любезно опубликовал некий Robert Israel из Канады, который числится 3-им по рейтингу на MathStackExchange, поскольку преимущественно отвечает там на чужие вопросы, а свои задает редко. Но после того, как я предложил формулу для A210247, он решил сделать небольшое исключение и даже задал целый вопрос, где указал три первых контрпримера.

Отдельная благодарность grizzly за разъяснения и wrest за подсказки. Как разберусь, обязательно поделюсь результатами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакочередование a(n)=a(22+n)
Сообщение11.09.2018, 13:37 
Заслуженный участник


20/08/14
11069
Россия, Москва
grizzly в сообщении #1338078 писал(а):
Думаю, что через $F_n$ просто обозначены коэффициенты разложения в ряд. Формула через модуль объясняет, что такое $a(n)$ -- это знаки: или плюс, или минус.
А, тогда понятно, надо всего лишь брать знаки производных и проверять что они регулярны. Правда не указано в какой точке, потому что судя по графикам производных из вольфрама знак уже второй (и третьей) производной вполне себе зависит от аргумента.
wrest в сообщении #1338092 писал(а):
У меня получились:
$a(1)=1$
$a(2)=-1$
А у меня другие:
$a(0)=+1$ (вольфрам),
$a(1)=-1$ (вольфрам),
$a(2)=-1$ (вольфрам),
$a(3)=+1$ (вольфрам).

kthxbye
PS. Самоустраняюсь, тут я не копенгаген. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакочередование a(n)=a(22+n)
Сообщение11.09.2018, 13:41 


05/09/16
11469
Dmitriy40 в сообщении #1338101 писал(а):
А у меня другие:

Да, у меня смещение в индексах на единицу (PARI считает с единицы а не с нуля - моё упущение).
Первые 22 знака: +--++--++---++--++--++

Так что в моих текстах выше вместо $a(1)$ надо читать как $a(0)$ и т.п. Соответственно первый контрпример $a(4136)\ne a(4136+22)$

Вот как выглядит "сбой" если записать знаки в строки по 22 на строку и строки пронумеровать с нуля

000:+--++--++---++--++--++
...
185:+--++--++---++--++--++
186:+--++--++---++--++--++
187:+--++--++---++--++--++
188:+--++--++---++--++--++
189:---++--++--+++--++--++
190:---++--++--+++--++--++
191:---++--++--+++--++--++
192:---++--++--+++--++--++

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакочередование a(n)=a(22+n)
Сообщение11.09.2018, 15:46 


05/09/16
11469
kthxbye
Вот вам текст на PARI/GP как я делал.
код: [ скачать ] [ спрятать ]
  1. ?default(parisizemax,10^9) \\ устанавливаем размер стека в гигабайт 
  2. *** Warning: new maximum stack size = 1000000000 (953.674 Mbytes). 
  3. ?\ps 10000 \\ устанавливаем количество членов разложения по умолчанию в 10000 
  4. seriesprecision = 10000 significant terms 
  5. ?kill(x) \\ если была такая переменная - уничтожаем 
  6. ?y=taylor(1/(exp(x)+Pi/2),x); \\раскладываем в ряд Тейлора вокруг нуля, разложение сохраняем в переменной y 
  7. *** exp: Warning: increasing stack size to 16000000. 
  8. *** exp: Warning: increasing stack size to 32000000. 
  9. *** exp: Warning: increasing stack size to 64000000. 
  10. *** exp: Warning: increasing stack size to 128000000. 
  11. *** _+_: Warning: increasing stack size to 256000000. 
  12. ## \\ спрашиваем сколько заняло времени разложение 
  13. *** last result computed in 25,319 ms. 
  14. ?a=vector(10000,i,sign(component(y,i))); \\ теперь в векторе (массиве) a - знаки коэффициентов, индексы смещены на единицу 
  15. ?for(n=1,10000-22,if(a[n]!=a[n+22],print(n-1))) \\ печатаем n для которых формула неверна, учитываем смещение индексов 
  16. 4136 
  17. 4147 

Руками печатаете в программу то, что выше написано после знака вопроса и до начала комментария \\, в конце строки нажимаете Enter. Те строки, что не начинаются со знака вопроса -- это то, что печатает программа в ответ.

Получается как-то так:

(скриншот, PARI/GP для windows)

Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Karan, Toucan, PAV, maxal, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group