2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство от одной переменной
Сообщение17.08.2018, 10:40 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Для любого положительного $x$ докажите что:
$$e^x\ln\left(e^x-x-\ln{x}\right)\geq1.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от одной переменной
Сообщение17.08.2018, 15:14 
Аватара пользователя


20/07/18
103

(Решение для $x\geq 1$)

$e^x\ln(e^x-x-\ln(x))\geq1\Leftrightarrow \ln(e^x-x-\ln(x))\geq e^{-x}\Leftrightarrow e^x\geq x+\ln(x)+e^{e^{-x}}$

Если $x=1$ то $e\ \vee \ 1+\ln(1)+e^{e^{-1}}\Leftrightarrow e-e^{e^{-1}}\ \vee \ 1$
Но $e-e^{e^{-1}}=1+\left ( \frac{1}{2!}-\frac{1}{e} \right )+\left ( \frac{1}{3!}-\frac{1}{2!e^2} \right )+...\geq 1$
значит тут оно выполнено.
$\left ( e^x \right )'=e^x\geq 1+\frac{1}{x}>1+\frac{1}{x}-e^{-x}\cdot e^{e^{-x}}=\left ( x+\ln(x)+e^{e^{-x}} \right )'$
где неравенства выполняются $\forall x \geq 1$.
Но тогда они выполнены и для изначальной функции на этом интервале.$\blacksquare$

Однако это решение не даёт точки в которых выполнено равенство (а такие есть?).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от одной переменной
Сообщение17.08.2018, 15:18 


05/09/16
11453
JohnDou в сообщении #1333103 писал(а):
Однако это решение не даёт точки в которых выполнено равенство (а такие есть?)

Есть одна, $x=W_0(1)\approx 0,567143290...$ (W-функция Ламберта).
Она же "константа Омега"

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от одной переменной
Сообщение17.08.2018, 15:35 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
И только одна! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от одной переменной
Сообщение17.08.2018, 15:55 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
JohnDou в сообщении #1333103 писал(а):
Поскольку функции из неравенства не убывающие, для доказательства неравенства на интервале нам достаточно убедиться в том, что оно выполняется на концах интервала


Классический пример:

$\log_{1\slash 16}x - (1 \slash 16)^x$ интервал $(0.2, 0.45)$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=log_(1%2F16)x+-(1%2F16)%5Ex++from+0.2+to+0.45

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от одной переменной
Сообщение17.08.2018, 17:21 


21/05/16
4292
Аделаида
Функция $(1/16)^x$ убывающая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от одной переменной
Сообщение17.08.2018, 18:12 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
kotenok gav, это не принципиально. $1 - (1/16)^x$ и $1-\log_{1\slash 16}x$ неубывающие.

(Оффтоп)

Возможно это утверждение JohnDou мне привиделось и мой пост явно подвис в воздухе. Неприятно, что уж там...

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от одной переменной
Сообщение17.08.2018, 19:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3046
Уфа
Если сделать подстановку $t=xe^x$, то WolframAlpha подсказывает, что
$$f(t)=e^{W(t)}\ln\left(e^{W(t)}-\ln t\right)=1+\frac{1-W(1)}{2}(t-1)^2+O((t-1)^3).$$ Т.е. в районе $t=1$ ($x=W(1)$) функция действительно имеет строгий минимум. Но локальный, т.е. целиком задача так не решается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от одной переменной
Сообщение17.08.2018, 20:50 
Аватара пользователя


20/07/18
103
Cash
Более простой контрпример: возьмём две точки на экспоненте и проведём через них прямую.

(Оффтоп)

Да, поторопился. А вообще зря на форуме отсутствует неограниченное редактирование сообщений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от одной переменной
Сообщение17.08.2018, 22:49 


05/09/16
11453
worm2 в сообщении #1333161 писал(а):
Но локальный, т.е. целиком задача так не решается.

Ну он же и глобальный на положительных иксах.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group