Интеграл

[Solaris86]

Продолжаю изучение матана по рекомендованным учебникам:
1. Ильин, Позняк "Основы математического анализа"
2. Зорич "Математический анализ"
3. Зельдович "Высшая математика для начинающих"
Изучение строю так: непрерывно продвигаюсь по учебнику Зельдовича и при необходимости дополнительно что-то изучить, подключаю Позняка и Зорича.
С производной и дифференциалами разобрался. Дошёл до интеграла и понял, что эта тема также требует подробного разбора.
Что неясно:
1. Дифференциал аргумента в подынтегральном выражении это б.м.ф. или также, как и в случае с производной, может быть как конечным числом (большим и малым), так и б.м.ф.?
2. Просто интеграл - это то же самое, что и интеграл Римана?

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1330336 писал(а):

1. Дифференциал аргумента в подынтегральном выражении это б.м.ф.?..

Дифференциал аргумента в подынтегральном выражении - это просто обозначение.

Solaris86 в сообщении #1330336 писал(а):

2. Просто интеграл - это то же самое, что и интеграл Римана?

Для вас пока - да.

[wrest]

Solaris86 в сообщении #1330336 писал(а):

Дифференциал аргумента в подынтегральном выражении это б.м.ф.

Безопасней всего считать, что $\int$ это левая скобка, а $dx$ правая.

Но если вы уже заносили что-нибудь под дифференциал в интеграле, меняли переменные при интегрировании, то видели что $dx$ ведет себя как дифференциал.
Ну например, если $F(x)$ -- первообразная функция $f(x)$, то

$$\int f(x)dx=\int dF(x)$$

[Pphantom]

Munin в сообщении #1330346 писал(а):

Дифференциал аргумента в подынтегральном выражении - это просто обозначение.

wrest в сообщении #1330348 писал(а):

Безопасней всего считать, что $\int$ это левая скобка, а $dx$ правая.

Вообще-то, поскольку известно, что ТС все это нужно для приложений в медицинской физике, лучше не привыкать ни к тому, ни к другому. А уж если словосочетание "интеграл Римана" известно и понятно, то ничего более и не требуется.

[Solaris86]

wrest в сообщении #1330348 писал(а):

Дифференциал аргумента в подынтегральном выражении - это просто обозначение.

wrest в сообщении #1330348 писал(а):

Безопасней всего считать, что $\int$ это левая скобка, а $dx$ правая.

Я это и держу у себя в голове примерно в таком виде. Но хочется понять, откуда оно взялось, логику создателей этого обозначения.
Вы меня, конечно, будете ругать за неверные со строгой математической точки высказывания, но я примерно так на ИНТУИТИВНОМ уровне держу у себя в голове понятия:
1. Производная в конкретной точке $x_0$ - это число:
1) через отношение дифференциалов: $ y'(x_0) = \frac{d_{x_0}y}{d_{x_0}x} = \frac {C_1}{C_2} = A$, где $d_{x_0}y, d_{x_0}x, C_1, C_2, A$ - числа.
2) через предел отношения приращений: $ y'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac {\text{б.м.ф.}_1}{\text{б.м.ф.}_2} = [\frac {0}{0}] = A$, где $\Delta y = \text{б.м.ф.}_1$ и $\Delta x = \text{б.м.ф.}_2$ - б.м.ф. одного порядка, а $A$ - число.
2. Производная в любой точке $x$ - это функция:
$ y'(x) = \frac{dy}{dx} = g(x)$, где $dy, dx, g(x)$ - функции.
Так вот мне нужно с интегралом также разобраться.
Для интеграла единственное, что интуитивном плане приходит на ум:
1. Определенный интеграл - это число:
$\int\limits_{a}^{b}y(x)dx = \lim\limits_{\Delta x_i \to 0}(\sum\limits^{\infty, x_\infty = b}_{i=1, x_1 = a}y(x_i)\cdot \Delta x_i) = \text{б.б.ф.}\cdot\text{б.м.ф.} = [\infty \cdot 0] = B$, где $B$ - число.
2. Неопределенный интеграл - это функция:
$\int y(x)dx=Y(x) + C$, где $Y(x)$ - функция, $C$ - функция (константа).
В общем, сначала хочу интуитивно понять, а затем облачить в математическую строгость, поэтому не ругайте сильно за неграмотность.

[wrest]

Solaris86 в сообщении #1330377 писал(а):

2) через предел отношения приращений: $ y'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac {\text{б.м.ф.}_1}{\text{б.м.ф.}_2} = [\frac {0}{0}] = A$, где $\Delta y = \text{б.м.ф.}_1$ и $\Delta x = \text{б.м.ф.}_2$ - б.м.ф. одного порядка, а $A$ - число

Не обязательно одного порядка, т.е. производная может быть и нулём.

Solaris86 в сообщении #1330377 писал(а):

2. Производная в любой точке $x$ - это функция:
$ y'(x) = \frac{dy}{dx} = g(x)$, где $dy, dx, g(x)$ - функции.

Если "в любой"="в каждой", то в каждой точке производная функции это число, равное пределу отношения приращений.

Solaris86 в сообщении #1330377 писал(а):

1. Определенный интеграл - это число:

Да, если существует.

Solaris86 в сообщении #1330377 писал(а):

$\int\limits_{a}^{b}y(x)dx = \sum\limits^{\infty, x_\infty = b}_{i=1, x_1 = a}y(x_i)\cdot d_{x_i}x = \text{б.б.ф.}\cdot\text{б.м.ф.} = [\infty \cdot 0] = B$, где $B$ - число.

Тут с бесконечностями лучше поаккуратней, бесконечности это не числа! Определённый интеграл это предел последовательности интегральных сумм. Бесконечных сумм не существует, но могут существовать пределы последовательностей частичных сумм.

Solaris86 в сообщении #1330377 писал(а):

2. Неопределенный интеграл - это функция:
$\int y(x)dx=Y(x) + C$, где $Y(x)$ - функция, $C$ - функция (константа).

Я бы исходил из определения, в котором говорится, что неопредленный интеграл это совокупность всех первообразных, т.е. $\int f(x)dx=F(x)+C$, а первообразная -- это такая, производная которой равна исходной функции, т.е. $F'(x)=\dfrac{dF(x)}{dx}=f(x)$

-- 03.08.2018, 13:26 --

Solaris86 в сообщении #1330377 писал(а):

Но хочется понять, откуда оно взялось, логику создателей этого обозначения.

Ну байки разные ходят, типа Лейбниц взял да и приписал $dx$ в конце просто так, а потом уже оказалось что это очень удобно и логично.

[Solaris86]

wrest в сообщении #1330382 писал(а):

2. Неопределенный интеграл - это функция:
$\int y(x)dx=Y(x) + C$, где $Y(x)$ - функция, $C$ - функция (константа). Я бы исходил из определения, в котором говорится, что неопредленный интеграл это совокупность всех первообразных, т.е. $\int f(x)dx=F(x)+C$, а первообразная -- это такая, производная которой равна исходной функции, т.е. $F'(x)=\dfrac{dF(x)}{dx}=f(x)$

Я могу понять, откуда берется домножение на $dx$ в подынтегральном выражении: $y(x) = Y'(x) = \frac {dY}{dx}$, отсюда $y(x)dx = Y'(x)dx = dY$
Тогда $\int y(x)dx = \int Y'(x)dx = \int dY$
Уже вроде близко к окончательному пониманию нахожусь, дифференциал первообразной функции появился.
Осталось понять 2 момента:
1. Зачем вообще знак интеграла тут, т.к. неясно, что вообще я собираюсь суммировать (в определенном интеграле ясно, что суммируем, а в неопределенном - совершенно неясно)?
2. Как перейти от дифференциала первообразной к самой первообразной, т.е. хочется увидеть выкладки, обратные тем, которые были при выводе формулы производной:
$y(x) = Y'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta Y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac {Y(x+\Delta x) - Y(x)}{\Delta x} = \frac {dY}{dx}$
Как записать эту цепочку в обратном направлении, чтобы получилось так:
$Y(x) + C = ?.. =\int dY = \int Y'(x)dx = \int y(x)dx$

[wrest]

Solaris86 в сообщении #1330434 писал(а):

1. Зачем вообще знак интеграла тут, т.к. неясно, что вообще я собираюсь суммировать (в определенном интеграле ясно, что суммируем, а в неопределенном - совершенно неясно)?

Да, поэтому лучше думать о нем как о совокупности первообразных, а не как о сумме.
Я еще хотел обратить внимание что константа в записи неопределенного интеграла это не какое-то конкретное число, а любое.
Ну это то, что называется "с точностью до константы".
Могу привести пример из физики. Потенциал (например электрического поля) определён также с точностью "до константы". То есть, если увеличить во всем мире в каждой точке потенциал на 10 единиц или на миллион единиц, ничего в мире не изменится. Ну и нельзя измерить "просто потенциал", можно только относительно другого потенциала. А вот разность потенциалов имеет смысл. А разность, если изменить вычитаемое и уменьшаемое на одно и то же число, не изменится, $b-a=(b+C)-(a+C)$.

Solaris86 в сообщении #1330434 писал(а):

2. Как перейти от дифференциала первообразной к самой первообразной,

Никак. Просто считайте, что производная от $\int f(x)dx$ равна $f(x)$ и поэтому $\int f(x)dx=F(x)+C$
То есть, если с производными вы можете записать предел и посчитать его, то с интегралами это не так. Вы каким-то чудом угадываете чему равна первообразная, а потом, беря от неё производную, убеждаетесь что угадали правильно.
И дело тут ещё вот в чём. Если вернуться к геометрической интерпретации что интеграл это площадь под графиком, то ясно что графику необязательно быть, например, непрерывным, чтобы под ним была какая-то площадь. Например функция $f(x)=\lfloor x \rfloor \mod 2$ (остаток от деления целой части на 2, равен 1 для нечетных и 0 для четных) имеет разрывы и не имеет никакой производной в точках разрыва, но посчитать площадь под ним проблем не составляет.

[Solaris86]

В таком случае, запомнить на дурака так:
1. Производная связана с оператором дифференцирования, который при применении к функции $f(x)$ превращает её в производную: $f(x)\xrightarrow{\hat{D}} \frac{d}{dx}f(x) = f'(x)$
2. Неопределённый интеграл связан с оператором интегрирования, который при применении к функции $f(x)$ превращает её в семейство первообразных:$f(x)\xrightarrow{\hat{I}} \int f(x)dx = F(x) + C$
Так можно рассуждать?

[Munin]

Pphantom в сообщении #1330356 писал(а):

Вообще-то, поскольку известно, что ТС все это нужно для приложений в медицинской физике, лучше не привыкать ни к тому, ни к другому.

Я не понял этой мысли. Нельзя ли объяснить?

[Pphantom]

Munin в сообщении #1330469 писал(а):

Я не понял этой мысли. Нельзя ли объяснить?

В рамках интересующих ТС приложений интеграл практически всегда - это интеграл Римана, а еще грубее - просто сумма (или - в некоторых простых случаях - предел сумм). Соответственно, неопределенный интеграл - это (вкупе с формулой Ньютона-Лейбница) способ аналитического вычисления тех самых сумм, а не первичное понятие. А оба процитированных мной высказывания нацелены на построение более аккуратной, но чисто "математической" картины, которая ТС сейчас не нужна (и, по-видимому, никогда не понадобится).

[Munin]

Мне кажется, они нацелены на принцип "заткнись и считай". С освоением которого у ТС главные проблемы, и освоить который ему было бы к огромной пользе.

А в рамках недалёких приложений интеграл практически всегда - это "площадь под графиком". В нём надо уметь видеть переменную интегрирования ("по чему" график) и функцию интегрирования (а что за график, собственно). Вот они и указаны формально в двух позициях: $\int\underline{\quad\,\,}\,\,d\underline{\quad}.$

[wrest]

Solaris86 в сообщении #1330468 писал(а):

Так можно рассуждать?

Да, на мой взгляд - так и нужно.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Междисциплинарный раздел» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[alisa-lebovski]

А вот кстати, когда пишут двойной интеграл

$$\int_a^b\int_c^df(x,y)\,dx\,dy,$$

то по какому отрезку пробегает $x$ и по какому $y$? Прямой порядок или обратный? Меня это иногда смущает, ставлю скобки.