2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача с ТурГора
Сообщение08.10.2017, 21:06 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Имеется 21 ненулевое число. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что половина всех сумм положительна, а половина - отрицательна. Каково наибольшее возможное количество положительных произведений?

Решал ее сегодня на ТурГоре. Дома заметил, что в вычислениях сделал ошибку, надеюсь, что за задачу дадут хоть 1 балл из 4. Решил поделать ее на компе. Получилось 190.При этом $\[190 < C_{21}^2 = 210\]$ и это число весьма близко к $210$, что внушает мне некоторую надежду. Интересно сравнить с результатами форумчан.

-- 08.10.2017, 21:17 --

Решил своим методом поискать значения при для других $n$:
1)$n=5$ $K=6$
2)$n=7$ $K=15$
3)$n=8$ $K=12$
4)$n=9$ $K=28$
5)$n=11$ $K=45$

-- 08.10.2017, 21:19 --

Хотя результаты странные: для $n=6$ и $n=10$ ответом нет, а $K_8<K_7$

-- 08.10.2017, 21:42 --

Судя по ответам друзей, правильный ответ - $120$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с ТурГора
Сообщение08.10.2017, 22:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Rusit8800 в сообщении #1254107 писал(а):
Получилось 190.
То есть только 20 произведений отрицательные? Это должно означать, что все числа, кроме одного, имеют один и тот же знак.
Rusit8800 в сообщении #1254107 писал(а):
1)$n=5$ $K=6$
Число положительных может быть только 2 или 3. Остальные -- отрицательные. В любом случае положительных произведений только 4. Да, что-то не так с Вашим методом и / или компьютером.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с ТурГора
Сообщение09.10.2017, 00:12 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Для 21: положительных (да и отрицательных) не мобыть больше 15 (иначе сугубо положительных пар -а, значит, и сумм, будет более 105)....

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с ТурГора
Сообщение10.10.2017, 01:37 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
$(-21, -20, -19, -18, -17, -16, 1, 2, ..., 14, 15)$
Здесь все отрицательные по модулю больше всех положительных. Получается $(6 \cdot 5 + 15 \cdot 14)/2=120$ положительных произведений.
При соотношениях, отличных от $15:6$, получаются результаты хуже.
Ну и сам массив можно "оптимизировать": $(-2 \cdot 6, 1 \cdot 15)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с ТурГора
Сообщение20.07.2018, 23:13 
Аватара пользователя


20/07/18
103
Понятно что среди этих чисел будут как положительные, так и отрицательные. Произведения будут положительными если оба умножаемых числа положительны или отрицательны.

Пусть $k$ количество отрицательных чисел. Найдём теперь наибольшее и наименьшее возможное значение для $k$. Наименьшим будет $6$. Для положительных чисел минимум будет тем же т.е. $6\leq k\leq 15$

Рассмотрим теперь функцию $f(x):=C^2_x+C^2_{21-x}=x^2-21x+210$. Где $f(k)$ это кол-во положительных произведений. Нам нужно найти максимум этой функции на отрезке $[6;15]$. Заметим что минимум $f$ $(x=10,5)$ попадает в этот участок. А поскольку $f$ является растущей параболой, удовлетворяющим нас целым максимумом будет самая далёкая от минимума $f$ точка. Этим условиям удовлетворяют $6$ и $15$.

Тогда наибольшее кол-во положительных произведений $f(6)=f(15)=C^2_6+C^2_{15}=120$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group