2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачка для вашего школьника
Сообщение10.03.2006, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Найти все действительные решения системы уравнений:
$x=\frac{1}{2} (y+\frac{1}{y})$
Оставшиеся два уравнения получаем по циклу $(x,y,z)$

ЗЫ. По ошибке было целые вместо действительных.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 18:47 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12046
$(1,1,1)$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Не хочу сказать, что поймал, но всё же (-1,-1,-1) тоже очевидно. :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 18:58 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12046
bot писал(а):
Не хочу сказать, что поймал, но всё же (-1,-1,-1) тоже очевидно. :D

Истессно, и других нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 19:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Не могу сказать, что это неправильно, но всё-таки неплоха задачка, а?
Ох, ёлы-палы, а причём здесь целые - исправляю.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 19:09 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12046
Ничего особенного. Как Вы решали?
Я сказал:
$2x=y+\frac{1}{y}$. Т.к. $x\subset\mathbb{Z}$, $y\subset\mathbb{Z}$, то $\frac{1}{y}\subset\mathbb{Z}$, а это значит, что $y$ может быть только $1$ или $-1$. Аналогично для $x,z$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 19:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Ну спортил, спортил, а задачка всё же неплоха - см. исправленный вариант.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 19:18 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Задача очевидная. Случай отрицательных сводится к положительным изменением всех знаков. Далее из
$x-1=(y+1/y)/2-1=(y-1)^2/(2y)$ получаем, что каждое из чисел больше или равно 1. При этом если одно из них больше 1, то получаем x-1<y-1<z-1<x-1 (противоречие).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.03.2006, 07:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
С очевидностью не спорю, не забудьте посмотреть на заголовок.
Можно без преобразований:
1. Достаточно рассмотреть положительные
2. Пусть одна из переменных отлична от 1, тогда все больше 1.
3. Сложением всех уравнений получаем противоречие: $3<x+y+z = \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}<3$

К сожалению не знаю автора задачки.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.03.2006, 03:48 
Аватара пользователя


10/03/06
5
Czech Republic
$ y=a$, zdes $a$ neravno nulyu,i  $a\in \mathbb{Q}$ togda $x=(a^2+1)/(2*a)  , z=((a^2+1)^2+4*a^2)/(4*a*(a^2+1))$  i znaya chto $y=1/2*(z+1/z)$, dostanem $7*a^8+28*a^6-14*a^4-20*a^2-1=0$ otsuda $(a^2-1)*(7*a^6+35*a^4+21*a^2+1)=0$ eto znachit chto $x=1,y=1,z=1$ i $x=-1,y=-1,z=-1$  i drgix net.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group