2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 
Сообщение05.07.2008, 13:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Spook писал(а):
Разве замкнутое подпространство не является полным? Осталось потребовать только нормированность объемлющего пространства.

Нормированность и так есть, а вот полноту надо именно потребовать -- иначе замкнутое подмножество не обязано быть полным.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.07.2008, 13:45 
Аватара пользователя


23/01/08
565
ewert, Вы не могли бы привести пример замкнутого подпространства, не являющимся полным? А то что-то я сомневаюсь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.07.2008, 14:13 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Spook писал(а):
ewert, Вы не могли бы привести пример замкнутого подпространства, не являющимся полным? А то что-то я сомневаюсь.

Пусть $B$ -- банахово пространство и $\widetilde M$ -- некоторое его линейное, но не замкнутое подмножество; тогда $\widetilde M$ само по себе есть нормированное, но не банахово пространство. Пусть теперь $L$ -- некоторое бесконечномерное подпространство $B$ и $\widetilde L=L\bigcap\widetilde M$. Тогда $\widetilde L$ замкнуто в $\widetilde M$, но не замкнуто в исходном $M$. Т.е. как пространство $\widetilde L$ не полно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.07.2008, 11:47 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Spook писал(а):
ewert, Вы не могли бы привести пример замкнутого подпространства, не являющимся полным? А то что-то я сомневаюсь.

Пусть $X$ -- произвольное нормированное пространство, не являющееся полным. Тогда $X$ -- замкнутое подпространство пространства $X$, не являющееся полным. :-)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.07.2008, 18:04 
Аватара пользователя


23/01/08
565
AGu писал(а):
Пусть $X$ -- произвольное нормированное пространство, не являющееся полным. Тогда $X$ -- замкнутое подпространство пространства $X$, не являющееся полным. :-)
Блин, точно. Но это тривиальный пример :) ...Вы - читор :)

ewert писал(а):
Пусть $B$ -- банахово пространство и $\widetilde M$ -- некоторое его линейное, но не замкнутое подмножество; тогда $\widetilde M$ само по себе есть нормированное, но не банахово пространство. Пусть теперь $L$ -- некоторое бесконечномерное подпространство $B$ и $\widetilde L=L\bigcap\widetilde M$. Тогда $\widetilde L$ замкнуто в $\widetilde M$, но не замкнуто в исходном $M$. Т.е. как пространство $\widetilde L$ не полно.

А $M$ - это какое множество?

Я опять запутался в определениях :( Замкнутость это что? Когда множество содержит свои предельные элементы. То есть пределы всех фундаментальных последовательностей принадлежат пространству. Так почему существуют замкнутые, но не полные пространства? :oops:

P.S. А из полноты то замкнутость следует? :oops:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.07.2008, 08:24 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Spook писал(а):
AGu писал(а):
Пусть $X$ -- произвольное нормированное пространство, не являющееся полным. Тогда $X$ -- замкнутое подпространство пространства $X$, не являющееся полным. :-)
Блин, точно. Но это тривиальный пример :)

Пример-то тривиальный, но он как раз отражает суть.

Spook писал(а):
Я опять запутался в определениях

Пусть $X$ -- метрическое пространство и $Y\subseteq X$.
Обозначим через $C_Y$, $C_X$ и $F$ множества всех
сходящихся в $Y$, сходящихся в $X$ и фундаментальных
последовательностей элементов $Y$.
Заметим, что $C_Y\subseteq C_X\subseteq F$.
Замкнутость $Y$ равносильна равенству $C_Y=C_X$,
а полнота $Y$ -- равенству $C_Y=F$.
Отсюда сразу видно, что полнота влечет замкнутость.
Если же $C_Y=C_X\ne F$, то $Y$ замкнуто, но не полно.
В случае полного $X$ мы имеем $C_X=F$, а значит,
в этом случае замкнутость $Y$ раносильна полноте $Y$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.07.2008, 09:37 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Spook писал(а):
Замкнутость это что? Когда множество содержит свои предельные элементы. То есть пределы всех фундаментальных последовательностей принадлежат пространству.

Совсем не то есть. В определении замкнутости фигурируют не фундаментальные, а сходящиеся последовательности. Сходимость -- требование более жёсткое: если последовательность сходится, то она и фундаментальна, однако из фундаментальности сходимость вовсе не следует.

Полнота пространства по определению означает, что в таком пространстве сходимость равносильна фундаментальности. Соответственно и для подмножеств: замкнутость подмножества равносильна его полноте как пространства тогда и только тогда, когда внешнее пространство полно.

Кстати (это к вопросу о том, "какое множество"): нормы и линейность тут не при чём, утверждение -- чисто метрическое.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.07.2008, 17:27 


15/03/07
128
To Spook.
Извините за нескромный вопрос... а Вы вообще где учитесь?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.07.2008, 20:26 
Аватара пользователя


23/01/08
565
AGu писал(а):
Spook писал(а):
AGu писал(а):
Пусть $X$ -- произвольное нормированное пространство, не являющееся полным. Тогда $X$ -- замкнутое подпространство пространства $X$, не являющееся полным. :-)
Блин, точно. Но это тривиальный пример :)

Пример-то тривиальный, но он как раз отражает суть.
Да, с этим не поспоришь.
AGu писал(а):
Пусть $X$ -- метрическое пространство и $Y\subseteq X$.
Обозначим через $C_Y$, $C_X$ и $F$ множества всех
сходящихся в $Y$, сходящихся в $X$ и фундаментальных
последовательностей элементов $Y$.
Заметим, что $C_Y\subseteq C_X\subseteq F$.
Вот здесь немножко непонятно, почему сходящаяся в $X$ последовательность должна быть фундаментальной в $Y$?
ewert писал(а):
Совсем не то есть. В определении замкнутости фигурируют не фундаментальные, а сходящиеся последовательности. Сходимость -- требование более жёсткое: если последовательность сходится, то она и фундаментальна, однако из фундаментальности сходимость вовсе не следует.
Да, я ошибся в определении.
ewert писал(а):
замкнутость подмножества равносильна его полноте как пространства тогда и только тогда, когда внешнее пространство полно.
Вот здесь я и запутался. Почему не может быть подмножество полным, а само множество неполным?
ewert писал(а):
Кстати (это к вопросу о том, "какое множество"): нормы и линейность тут не при чём, утверждение -- чисто метрическое.
Просто Вы в начале не написали, что такое $M$, вот я и решил уточнить, мало ли, имелось ввиду $B$ или еще что-то.
Pyphagor писал(а):
To Spook.
Извините за нескромный вопрос... а Вы вообще где учитесь?
В институте. И не надо так кричать. За вопрос извиняю, но тон Ваш мне не нравится.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.07.2008, 21:36 


15/03/07
128
Да уж интересно... как Вы умудрились услышать в тексте высокий тон?
Вас, что огромный шрифт "To Spook" смутил?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.07.2008, 09:16 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Spook писал(а):
почему сходящаяся в $X$ последовательность должна быть фундаментальной в $Y$?

По определению. :-)

Возможно, Вы забыли, что $Y$ является подпространством $X$,
а значит, расстояние в $Y$ то же самое, что и в $X$,
т.е. $\rho_Y(y_1,y_2)=\rho_X(y_1,y_2)$ для любых $y_1,y_2\in Y$.

На всякий случай поясню подробно.
Пусть последовательность $(y_n)$ элементов $Y$ сходится в $X$.
Тогда имеется такой элемент $x\in X$, что
$$(\forall\,\varepsilon>0)(\exists\,\bar n)(\forall\,n\geqslant\bar n)\ \rho_X(y_n,x)<\varepsilon/2.$$
Следоватлеьно, при $n,m\geqslant\bar n$ мы имеем
$$\rho_Y(y_n,y_m)=\rho_X(y_n,y_m)\leqslant\rho_X(y_n,x)+\rho_X(y_m,x)<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.07.2008, 10:41 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Spook писал(а):
AGu писал(а):
Пусть $X$ -- метрическое пространство и $Y\subseteq X$.
Обозначим через $C_Y$, $C_X$ и $F$ множества всех
сходящихся в $Y$, сходящихся в $X$ и фундаментальных
последовательностей элементов $Y$.
Заметим, что $C_Y\subseteq C_X\subseteq F$.
Вот здесь немножко непонятно, почему сходящаяся в $X$ последовательность должна быть фундаментальной в $Y$?

Попробую то же самое, но чуть иначе, чем AGu.
1). Сходящаяся последовательность всегда фундаментальна: если элементы сходятся к некоторому (т.е. приближаются к нему), то они автоматически сближаются и между собой (а это и есть фундаментальность).
2). Фундаментальность не зависит от того, в самом пространстве рассматривается последовательность или в каком-либо из подпространств (при одной и той же метрике, естественно). А вот сходимость, между прочим -- зависит. Причина: фундаментальность -- внутреннее свойство самой последовательности (т.е. определяется свойствами только её элементов и ничем иным). Для сходимости же требуется наличие некоего "внешнего" по отношению к последовательности элемента (предельной точки); и это, разумеется, зависит от выбора подмножества, в котором мы работаем.

Добавлено спустя 7 минут 34 секунды:

Spook писал(а):
ewert писал(а):
замкнутость подмножества равносильна его полноте как пространства тогда и только тогда, когда внешнее пространство полно.
Вот здесь я и запутался. Почему не может быть подмножество полным, а само множество неполным?

Может, конечно. Запутались -- видимо, потому, что я шибко уж изысканную фразу завернул -- там две вложенные эквивалентности.

Вот пусть само мн-во -- это $Y$, а его подмножество -- $X$. Моё утверждение состояло в следующем:

(Замкнутость $X$ $\Longleftrightarrow$ полноте $X$) $\qquad\Longleftrightarrow\qquad$ (полноте $Y$)

А вовсе не

(Полнота $X$) $\qquad\Longleftrightarrow\qquad$ (полноте $Y$)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.07.2008, 10:49 


02/07/08
322
ewert
Я полагаю, что всё-таки верность первого утверждения второй эквивалентности для всех $X$ - подмножеств $Y$ равносильна полноте $Y$. Ведь для произвольного $X$ могут быть выполнены обе части первой эквивалентности, а, значит, и она сама, и при неполном $Y$.

AGu
Последовательность, сходящаяся в $X$ (у Вас оно объемлющее пространство, в отличие от ewert'а), может и не лежать в $Y$ - произвольном подмножестве $X$, поэтому утверждение о том, что она в $Y$ фундаментальна, весьма странно.
Или я что-то не так понял?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.07.2008, 11:44 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Cave писал(а):
ewert
Я полагаю, что всё-таки верность первого утверждения второй эквивалентности для всех $X$ - подмножеств $Y$ равносильна полноте $Y$. Ведь для произвольного $X$ могут быть выполнены обе части первой эквивалентности, а, значит, и она сама, и при неполном $Y$.

Плохо понимаю, что Вы хотите сказать; поэтому просто разверну то утверждение, на которое Вы ссылаетесь.

Из полноты всегда следует замкнутость в объемлющем пространстве (независимо от полноты этого объемлющего пространства). Поэтому то утверждение фактически сводится вот к чему:

(Замкнутость $X$ $\Longrightarrow$ полнота $X$) $\qquad\Longleftrightarrow\qquad$ (полноте $Y$)

А это означает вот что.

1). Если внешнее $Y$ полно, то любое замкнутое подмножество $X$ само по себе тоже полно.

2). Если внешнее $Y$ не полно, то существует подмножество $X$, которое замкнуто в $Y$, но само по себе тоже не полно (тривиальный пример -- само $Y$).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.07.2008, 11:53 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Cave писал(а):
AGu
Последовательность, сходящаяся в $X$ (у Вас оно объемлющее пространство, в отличие от ewert'а), может и не лежать в $Y$ - произвольном подмножестве $X$, поэтому утверждение о том, что она в $Y$ фундаментальна, весьма странно.

Виноват. Я только сейчас заметил двусмысленность своих определений $C_Y$, $C_X$ и $F$.
Вот развернутая версия:
$C_Y$ -- множество всех сходящихся в $Y$ последовательностей элементов $Y$;
$C_X$ -- множество всех сходящихся в $X$ последовательностей элементов $Y$;
$F$ -- множество всех фундаментальных последовательностей элементов $Y$.

Добавлено спустя 7 минут 12 секунд:

ewert писал(а):
(Замкнутость $X$ $\Longrightarrow$ полнота $X$) $\qquad\Longleftrightarrow\qquad$ (полноте $Y$)

Тут просто квантор спрятан: :-)
$\bigl((\forall\, X\subseteq Y)(X\text{ замкнуто}\Rightarrow X\text{ полно})\bigr)\Leftrightarrow(Y\text{ полно})$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 83 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group