Определение периода колебания физического маятника.

[AlexeyM88]

Задача: На стержне длиной $l = 30 \text{см}$ и массой $m = 1 \text{кг}$, закреплены два одинаковых грузика: один - в середине стержня, другой - на одном из его концов. Эта система может свободно вращаться около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определите период собственных колебаний T этого физического маятника.
Из условий ясно, что маятник имеет одну степень свободы и вращается вокруг горизонтальной оси. Формула периода колебаний физического маятника: $ T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{I}{mgd}}$, где $d$ - расстояние центра масс маятника от оси колебаний, а $I$ - момент инерции относительно оси колебаний.
Момент инерции стержня можно найти по формуле: $I_{\text{ст}} = \frac{ml^2}{3}$. Шара $I_{\text{ш}} = m \cdot R^2$.
Проблема в том, что не знаю как вычисляется расстояние центра масс маятника от оси колебания.
Подскажите пожалуйста, как в моём случае вычислить это расстояние?

[realeugene]

AlexeyM88 в сообщении #1314650 писал(а):

Проблема в том, что не знаю как вычисляется расстояние центра масс маятника от оси колебания.

Что такое "центр масс"? Дайте определение, пожалуйста.

[wrest]

AlexeyM88 в сообщении #1314650 писал(а):

Подскажите пожалуйста, как в моём случае вычислить это расстояние?

Формула есть прямо в Википедии https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0 ... 1%81%D1%81
У вас три тела:
1. Стержень.
2. Первый груз в центре стержня.
3. Второй груз на одном из его концов.

Положение центра масс стержня -- его середина. Положение центров масс грузов -- центр стержня и один из его концов.

Ну понятно, что центр масс системы стержень+первый груз -- это таки центр стержня. Осталось найти как он меняется если на один из концов навесить второй груз.

[Pphantom]

AlexeyM88 в сообщении #1314650 писал(а):

Шара $I_{\text{ш}} = m \cdot R^2$.

Кстати уж, к слову... это не момент инерции шара, но он тут и не нужен, а нужно нечто другое.

[AlexeyM88]

realeugene, точка, положение которой характеризует распределение масс в теле. Для шара, допустим, это его геометрический центр. Я думаю так.

[realeugene]

AlexeyM88 в сообщении #1314656 писал(а):

Я думаю так.

Вам нужно изучить определение.

[AlexeyM88]

realeugene, ок. Пойду читать Сивухина.
Pphantom, а что именно?

[Pphantom]

AlexeyM88 в сообщении #1314663 писал(а):

Pphantom, а что именно?

"Грузики" совсем не обязаны быть шарами. Зато Вы можете предполагать, что они маленькие по размеру.

[AlexeyM88]

Pphantom, действительно. Упустил.

[AlexeyM88]

Значит $X_{\text{ц.м.}} = \frac{x_{1} \cdot m_{1} + x_{2} \cdot m_{2} + x_{n} \cdot m_{n}}{m_{1} + m_{2} + m_{n} }$ - это и есть расстояние центра масс от оси вращения? Поскольку не даны другие координаты, то полагаю, что достаточно только X...

[AlexeyM88]

А если определять момент инерции грузиков по теореме Штейнера, то размерами грузиков можно пренебречь? Если так, то получится: $ I = m \cdot R^2 + m \cdot l^2$
$R$ пренебрежимо мала, значит выражение примет вид: $I = m \cdot l^2$

[Pphantom]

AlexeyM88 в сообщении #1314694 писал(а):

Значит $X_{\text{ц.м.}} = \frac{x_{1} \cdot m_{1} + x_{2} \cdot m_{2} + x_{n} \cdot m_{n}}{m_{1} + m_{2} + m_{n} }$ - это и есть расстояние центра масс от оси вращения? Поскольку не даны другие координаты, то полагаю, что достаточно только X...

В целом да, но лучше бы посмотреть, какой результат Вы при этом получите.

AlexeyM88 в сообщении #1314727 писал(а):

А если определять момент инерции грузиков по теореме Штейнера, то размерами грузиков можно пренебречь? Если так, то получится: $ I = m \cdot R^2 + m \cdot l^2$
$R$ пренебрежимо мала, значит выражение примет вид: $I = m \cdot l^2$

Да, размерами грузиков можно пренебречь, но вот вывод отсюда Вы делаете неправильный. И, кстати, что теперь значит $R$?

[AlexeyM88]

$X_{\text{ц.м.}} = \frac{ \frac{1}{2} \cdot l \cdot m_{1} + \frac{1}{2} \cdot l \cdot m_{2} + l \cdot m_{2} }{m_{1} + 2 \cdot m_{2}} = \frac{l \cdot (m_{1} + 3m_{2})}{2 \cdot (m_{1} + 2m_2)}$
$m_{1}$ - масса стержня.
$m_{2}$ - масса грузиков.

Цитата:

И, кстати, что теперь значит $R$?

Расстояние от оси вращения тела, той которая рассматривается когда центр масс совпадает с осью вращения.

[Pphantom]

AlexeyM88 в сообщении #1314748 писал(а):

$X_{\text{ц.м.}} = \frac{ \frac{1}{2} \cdot l \cdot m_{1} + \frac{1}{2} \cdot l \cdot m_{2} + l \cdot m_{2} }{m_{1} + 2 \cdot m_{2}} = \frac{l \cdot (m_{1} + 3m_{2})}{2 \cdot (m_{1} + 2m_2)}$
$m_{1}$ - масса стержня.
$m_{2}$ - масса грузиков.

Да, правильно.

AlexeyM88 в сообщении #1314748 писал(а):

Расстояние от оси вращения тела, той которая рассматривается когда центр масс совпадает с осью вращения.

Но Вас же интересует момент относительно оси маятника, а она с барицентрической осью не совпадает.

[AlexeyM88]

Это для расчёта по теореме Штейнера.
$ I = I_{0} + ma^2$
где a - расстояние между осями.
Я полагаю, что нужно вычислить моменты инерции по теореме Штейнера и подставить в формулу периода колебаний физического маятника.
$I_{\text{г1}} = I_{0} + m_{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot l = m_{2} \cdot (R^2 + \frac{1}{4} \cdot l^2)$
$I_{\text{г2}} = I_{0} + m_{2} \cdot l^2 = m_{2} \cdot (R^2 + l^2)$
$I_{\text{ст}} = \frac{m_{1} \cdot l^2}{3}$
Остается вопрос: Мы можем полагать, что R грузиков близко к нулю? Если R близко к нулю, то мы можем пренебречь этой величиной и получим:
$I_{\text{г1}} = m_{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot l^2$
$I_{\text{г2}} = m_{2} \cdot l^2$
И в конце, сложить $I_{\text{системы}} = I_{\text{ст}} + I_{\text{г1}} + I_{\text{г2}}$