2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Циклические числа, как частные Ферма
Сообщение16.05.2018, 05:10 
Аватара пользователя


01/12/17
89
Мельбурн
В Википедии есть статья о циклических числах, которая у меня (надеюсь не у всех) вызывает больше вопросов, чем ответов.

Начнем с определения: «Циклическое число — это целое число, циклические перестановки цифр которого являются произведениями этого числа на последовательные числа» Сколько последовательных чисел, какие это числа не указано. Я позволю себе сформулировать в более жестком виде, надеясь, что это облегчит доказательство факта, о котором пойдет речь ниже: «n-значное число назовем циклическим, если его произведения на числа 1,2...(n-1) являются циклическими перестановками исходного числа.»

Довольно легко доказать, что если простое число p (отличное от 2 и 5) является полно-периодным, то есть период дроби $\frac{1}{p}$ состоит из $p-1$ цифр, то этот период представляет собой циклическое число. Например $\frac{1}{7}=0,(142857)$, и число 142857 является циклическим:
$$
\begin{matrix}
142857 \cdot 2 = 285714  & 142857 \cdot 3 = 428571 & 142857 \cdot 4 = 571428 \\
142857 \cdot 5 = 714285  & 142857 \cdot 6 = 857142
\end{matrix}
$$
Далее, из алгоритма перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную следует, что для полнопериодного $p$ число вида $\dfrac{10^{p-1}-1}{p}$, называемое частным Ферма, является циклическим.

Указанная статья Википедии однако утверждает обратное (цитирую): «Используя связь с долями единицы, можно показать, что циклические числа имеют вид частного Ферма $\dfrac{b^{p-1}-1}{p}$, где $b$ — основание системы счисления (10 для десятичной системы), а $p$ — простое, которое не делит $b$

Что скрывается за таинственной связью с долями единицы и вообще, как доказать этот факт?

Если я не ошибаюсь, это утверждение равносильно следующему (для простоты ограничимся привычной десятичной системой): «Если $A$ - циклическое $n$-значное число, то $A(n+1)=10^n-1$», причем тот факт, что $(n+1)$ — полно-периодное, вытекает из результата. Другое равносильное утверждение: «Всякое циклическое число длины $n$ является периодом десятичной дроби, соответствующeй $\frac{1}{n+1}$».

Кстати, отсюда следует, что число 142857 является единственным «настоящим» циклическим числом, так как 7 — единственное полно-периодное число, меньшее 10. Если число больше 10, то его период начинается с нуля/нулей, при отбрасывании которого/которых. число перестает быть циклическим. В двенадцатеричной системе счисления я нашел два циклических числа: $2497_{12}$ (период $\frac{1}{5}$) и $186T35_{12}$ (период $\frac{1}{7}$, T - двенадцатеричное 10).

Между прочим, если $n$ является составным (но не делится на 2 и на 5), его можно считать полно-периодным, если период для $\frac{1}{n}$ состоит из $\varphi(n)$ цифр ($\varphi(n)$ — функция Эйлера / totient function). В этом случае если умножать период (т.е. число $\dfrac{10^{\varphi(n)}-1}{n}$) на числа, меньшие $n$ и взаимно простые с $n$, будем снова получать циклические перестановки. Есть такие примеры?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group