2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказательство отсутствия у прямоугольной матрицы обратной
Сообщение24.04.2018, 19:24 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
Пусть дана прямоугольная вещественнозначная матрица $A_{n\times m}$ ($n\ne m$). Определим для нее обратную матрицу $A^*_{m\times n}$ следующим образом:$$\begin{cases}A_{n\times m}A^*_{m\times n}&=E_{n\times n}\\A^*_{m\times n}A_{n\times m}&=E_{m\times m}\end{cases}$$Здесь $E_{k\times k}$ — единичная матрица размера $k$. Можно ли элементарным образом показать, что матрицы $A^*_{m\times n}$, удовлетворяющей обоим указанным соотношениям, не существует?

Пытался посмотреть на это с точки зрения системы линейных уравнений. Имеем $nm$ неизвестных (элементы матрицы $A^*_{m\times n}$) и $n^2+m^2$ уравнений. $n^2+m^2>nm$ (для $n,m\in\mathbb{N}$), однако часть уравнений может быть линейно зависима (иначе для квадратных матриц обратных тоже не существовало бы). Навскидку определить максимальное количество линейно зависимых уравнений в данном случае вроде бы не получается. Поскольку $(n-m)^2\ge 0$ (причем равенство достигается только при $n=m$), то было бы неплохо, если бы это максимальное количество оказалось ограничено величиной $nm$. В противном случае тут нужно искать совсем иной подход (если, конечно, некое элементарное доказательство в данном случае вообще возможно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство отсутствия у прямоугольной матрицы обратной
Сообщение24.04.2018, 19:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
EtCetera в сообщении #1307040 писал(а):
Пытался посмотреть на это с точки зрения системы линейных уравнений.


Нелинейных же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство отсутствия у прямоугольной матрицы обратной
Сообщение24.04.2018, 19:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
g______d в сообщении #1307044 писал(а):
Нелинейных же

На элементы $A^*$ линейные соотношения

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство отсутствия у прямоугольной матрицы обратной
Сообщение24.04.2018, 19:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8342
Цюрих
Пусть $n > m$. Тогда есть ненулевой вектор $v$ такой что $vA = 0$. Домножив первое уравнение слева на $v$ получим $vE = 0$, откуда $v = 0$.
Тут нужно показать, что если строк больше чем столбцев, то есть нетривиальная линейная комбинация строк, равная нулю. Но что-то в этом духе в любом случае понадобится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство отсутствия у прямоугольной матрицы обратной
Сообщение24.04.2018, 19:51 
Заслуженный участник


31/12/05
1405
Ранг произведения матриц не превышает минимального из рангов сомножителей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство отсутствия у прямоугольной матрицы обратной
Сообщение24.04.2018, 19:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
EtCetera в сообщении #1307040 писал(а):
Можно ли элементарным образом показать

Следы вычислите

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство отсутствия у прямоугольной матрицы обратной
Сообщение24.04.2018, 19:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство отсутствия у прямоугольной матрицы обратной
Сообщение24.04.2018, 19:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4601
Любую матрицу $A$ можно толковать как линейный оператор, переводящий каждый вектор-столбец $x$ нужного размера в вектор-столбец $Ax$. И наоборот.

Итак, пусть $A:\,\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ - линейный оператор, ищем линейный оператор $A^*:\,\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ такой, что $AA^*x=x$ для всех $x\in\mathbb{R}^n$ и $A^*Ax=x$ для всех $x\in\mathbb{R}^m$.

Пусть $x\in\mathbb{R}^m$. Тогда $A^*Ax=x$, так что $x$ принадлежит образу оператора $A^*:\,\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$.
Мы видим, что этот образ совпадает с $\mathbb{R}^m$.
С другой стороны, он является линейной оболочкой образов векторов базиса в $\mathbb{R}^n$ и имеет размерность $\leq n$. Поэтому $m\leq n$.

Пусть теперь $y\in\mathbb{R}^n$. Тогда $AA^*y=y$ и, тем самым, $y$ принадлежит образу оператора $A:\,\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$.
Мы видим, что этот образ совпадает с $\mathbb{R}^n$.
С другой стороны, он является линейной оболочкой образов векторов базиса в $\mathbb{R}^m$ и имеет размерность $\leq m$. Поэтому $n\leq m$.

Такие дела.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство отсутствия у прямоугольной матрицы обратной
Сообщение24.04.2018, 20:44 


11/07/16
801
Посмотрите на псевдообратную матрицу. По ссылке можно перейти на русскоязычную версию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство отсутствия у прямоугольной матрицы обратной
Сообщение25.04.2018, 00:43 


10/03/16
3855
Aeroport
tolstopuz в сообщении #1307054 писал(а):
Ранг произведения матриц не превышает минимального из рангов сомножителей.


Евгений Машеров в сообщении #1307056 писал(а):
Ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей.


Это одинаковые утверждения, не?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство отсутствия у прямоугольной матрицы обратной
Сообщение25.04.2018, 01:08 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Эквивалентные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство отсутствия у прямоугольной матрицы обратной
Сообщение26.04.2018, 22:54 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
Большое спасибо всем откликнувшимся!

tolstopuz, Евгений Машеров, действительно, через ранги, наверное, проще всего.
mihaild, alcoholist, Mikhail_K, спасибо за пищу для размышлений! Постараюсь переварить.
Markiyan Hirnyk в сообщении #1307068 писал(а):
Посмотрите на псевдообратную матрицу.
Спасибо, я знаю про псевдообратную матрицу, но не слишком хорошо понимаю, как она может помочь в этом вопросе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство отсутствия у прямоугольной матрицы обратной
Сообщение27.04.2018, 12:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
EtCetera в сообщении #1307763 писал(а):
Постараюсь переварить

Пусть $n\ne m$. С одной стороны
$$
\operatorname{Sp}AA^*=\sum_{i,j}a_{ij}a^*_{ji}=\sum_{i,j}a^*_{ji}a_{ij}=\operatorname{Sp}A^*A,
$$
а с другой
$$
\operatorname{Sp}AA^*=\operatorname{Sp}E_{n\times n}=n\ne \operatorname{Sp}A^*A=\operatorname{Sp}E_{m\times m}=m.
$$
Тогда как соображения с рангами опираются на теорему о ранге произведения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство отсутствия у прямоугольной матрицы обратной
Сообщение27.04.2018, 12:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
$A_{n\times m}A^*_{m\times n}&=E_{n\times n}$
Если $n>m$, то большое число ненулевых векторов с маленьким числом компонент попарно ортогональны. Этого не может быть.

Я подумал, что звездочка - это транспонированная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство отсутствия у прямоугольной матрицы обратной
Сообщение28.04.2018, 21:53 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
alcoholist
Здорово! Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gevin Magnus, Vladimir Pliassov, YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group