2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 
Сообщение23.06.2008, 20:49 
Аватара пользователя


23/01/08
565
ewert писал(а):
Во-первых, замкнута любая ортогональная последовательность(если нормы её членов ограничены снизу) -- у неё попросту нет предельных элементов.
да, что-то я не подумал про это :( Кстати, обычно норму считают неотрицательной, значит она ограниченна снизу.
ewert писал(а):
Во-вторых, я надеюсь, что в последнее утверждение слово "не" попало по рассеянности.
Наверное Вы во мне разочаруетесь (жаль...), но моё утверждение осмысленно. Я сделал такой вывод в частности из:
Spook писал(а):
Brukvalub, оно не замкнуто, так как в пределе линейных комбинаций мы можем получить функцию, не являющуюся тригонометрическим полиномом?
Brukvalub писал(а):
Да, см. теорию рядов Фурье.

Касательно включения:
ewert писал(а):
Правильно; только откуда "отсюда"? -- не любое $M$ является ортогональной последовательностью.

По-моему это наихудший вариант, поэтому его и рассмотрел.

Еще такой вопрос: сколько может быть предельных точек? А именно, как может измениться мощность замыкания?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.06.2008, 20:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Spook писал(а):
, обычно норму считают неотрицательной, значит она ограниченна снизу.

Именно по этой причине под "отделённостью от нуля" принято понимать, что все нормы ограничены снизу одним и тем же положительным числом.

-----------------------------------------------
(кстати, давайте будем точными: норма по определению не просто неотрицательна, но -- строго положительна, за исключением тривиального случая. Впрочем, к обсуждаемому вопросу это не относится)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.06.2008, 11:15 
Аватара пользователя


23/01/08
565
ewert, а остальное правильно? Если да, то хочу начать разговор про замыкание линейной оболочки :) .

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.06.2008, 14:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
а что именно "остальное"? я уже забыл, тут много о чём речь

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.06.2008, 01:41 
Аватара пользователя


23/01/08
565
ewert писал(а):
а что именно "остальное"? я уже забыл, тут много о чём речь
Хотелось бы разобраться вот с этим:
1.
ewert писал(а):
Spook писал(а):
любая замкнутая ортогональная последовательность, ее линейная оболочка незамкнута, так как при счетной линейной комбинации элементов можно получить элемент, не принадлежащий этому пространству).

Путаница какая-то. Во-первых, замкнута любая ортогональная последовательность (если нормы её членов ограничены снизу) -- у неё попросту нет предельных элементов. Во-вторых, я надеюсь, что в последнее утверждение слово "не" попало по рассеянности.
Я так и не понял, почему там не должно быть "не"?

2.
Spook писал(а):
ewert писал(а):
...не любое $M$ является ортогональной последовательностью.

По-моему это наихудший вариант, поэтому его и рассмотрел.
Это неправильно?

3.Вопрос про замыкание. На сколько может измениться мощность множества, после применения к нему операции замыкания?

4.Все еще интересует вопрос, почему второе ортогональное дополнение является замыканием линейной оболочки исходного множества. Хочется узнать просто ход доказательства или небольшую подсказочку.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.06.2008, 09:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
1.
Spook писал(а):
ewert писал(а):
Spook писал(а):
любая замкнутая ортогональная последовательность, ее линейная оболочка незамкнута, так как при счетной линейной комбинации элементов можно получить элемент, не принадлежащий этому пространству).
Я так и не понял, почему там не должно быть "не"?

Потому что тут вообще невозможно понять логику. А вот если слово "не" убрать, то рассуждение станет верным, хотя и не аккуратным. Любая счётная линейная комбинация (если вообще имеет смысл, т.е. если соотв. ряд сходится) принадлежит замыканию линейной оболочки, но не самой линейной оболочке. Именно поэтому последняя и не замкнута.

2. Допустим.

3. Не знаю. Я вообще с мощностями знаком поверхностно.

4.
Цитата:
Все еще интересует вопрос, почему второе ортогональное дополнение является замыканием линейной оболочки исходного множества. Хочется узнать просто ход доказательства или небольшую подсказочку.

Тут вроде по кусочкам док-во уже было. Ну попробуем ещё раз. Я буду обозначать линейную оболочку $M$ как $L_M$.

1). Вложение $\overline{L_M}\subset\left(M^{\perp}\right)^{\perp}$ в точности означает, что $\overline{L_M}$ ортогонально $M^{\perp}$ (т.е. что каждый элемент первого ортогонален любому элементу второго). Это вполне элементарно:
а) само $M$ ортогонально $M^{\perp}$ просто по определению $M^{\perp}$;
б) тогда $L_M \perp M^{\perp}$ в силу линейности скалярного произведения;
в) тогда $\overline{L_M} \perp M^{\perp}$ в силу непрерывности скалярного произведения.

2). Замыкание линейной оболочки -- всегда подпространство, что тоже элементарно: а) линейная оболочка -- это линейное множество; б) замыкание любого множества замкнуто и в) замыкание не нарушает линейности (в силу непрерывности нормы).

3) Нетривиальная часть доказательства -- это что $\overline{L_M}$ именно совпадает с $\left(M^{\perp}\right)^{\perp}$. Впрочем, на уровне формальных выкладок тут тоже всё просто:
а) из $\overline{L_M}\subset\left(M^{\perp}\right)^{\perp}$ следует $\left(\overline{L_M}\right)^{\perp}\supset\left(\left(M^{\perp}\right)^{\perp}\right)^{\perp}=M^{\perp}$;
б) с другой стороны, из $M\subset\overline{L_M}$ следует $M^{\perp}\supset\left(\overline{L_M}\right)^{\perp}$;
в) следовательно, $M^{\perp}=\left(\overline{L_M}\right)^{\perp}$, откуда $\left(M^{\perp}\right)^{\perp}= \left(\left(\overline{L_M})^{\perp}\right)^{\perp}=\overline{L_M}$.
Нетривиальность в том, что тут неявно используется заранее совсем не очевидная теорема о проекции. Её можно переформулировать так: если $L$ -- подпространство, то $H=L\oplus L^{\perp}$. Ввиду симметрии утверждения относительно $L$ и $L^{\perp}$ отсюда следует, что для любых подпространств $L= \left(L^{\perp}\right)^{\perp}$. Тогда все предыдущие рассуждения корректны.
(Да, ещё тут использован тот факт, что $M^{\perp}$ -- это всегда подпространство. Он сам по себе очень важен, но и очень прост: моментально следует из линейности и непрерывности скалярного произведения.)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.06.2008, 14:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Spook писал(а):
3.Вопрос про замыкание. На сколько может измениться мощность множества, после применения к нему операции замыкания?


Это зависит от топологических свойств того пространства, в котором берётся замыкание.

В произвольном топологическом пространстве мощность замыкания множества может оказаться любой (естественно, не меньшей мощности самого множества).

Если $X$ - хаусдорфово топологическое пространство, то для любого множества $A\subseteq X$ будет $|[A]_X|\leqslant 2^{2^{|A|}}$. "Хаусдорфово" означает, что любые две различные точки пространства $X$ имеют непересекающиеся окрестности. Такая оценка следует из того, что если $x\in[A]_X$, то пересечение всевозможных окрестностей точки $x$ с множеством $A$ даёт некоторое семейство непустых подмножеств множества $A$, однозначно определяющее точку $x$ (благодаря хаусдорфовости $X$), поэтому $[A]_X$ имеет не больше точек, чем имеется семейств подмножеств множества $A$. В множестве $A$ имеется $2^{|A|}$ подмножеств и, следовательно, $2^{2^{|A|}}$ семейств подмножеств.

Однако Вы сейчас обсуждаете линейные пространства со скалярным произведением, поэтому на них существует норма $\|x\|=\sqrt{(x,x)}$ и, следовательно, метрика $\rho(x,y)=\|x-y\|$. Если пространство $X$ метрическое, то для каждой точки $x\in[A]_X$ существует последовательность точек множества $A$, сходящаяся к точке $x$ (и ни к какой другой - метрические пространства хаусдорфовы). Поэтому количество точек $[A]_X$ не превосходит количества последовательностей точек множества $A$, то есть, $|[A]_X|\leqslant|A|^{\aleph_0}$, где $\aleph_0$ - это мощность множества натуральных чисел $\mathbb N$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.06.2008, 21:54 
Аватара пользователя


23/01/08
565
ewert писал(а):
Любая счётная линейная комбинация (если вообще имеет смысл, т.е. если соотв. ряд сходится) принадлежит замыканию линейной оболочки, но не самой линейной оболочке. Именно поэтому последняя и не замкнута.
Ну прмерно это и имелось ввиду, наверное мы просто говорили о разных пространствах.

ewert,Someone, спасибо вам за обьяснения, но у меня появилось ещё несколько вопросов.
ewert писал(а):
Допустим.
На всякий случай уточню, это относится к:
Spook писал(а):
По-моему это наихудший вариант, поэтому его и рассмотрел.
или к тому, что это неправильно?
Someone писал(а):
"Хаусдорфово" означает, что любые две различные точки пространства $X$ имеют непересекающиеся окрестности.
Означает ли это, что "хаусдорфость"=="дискретность"?(может и глупый вопрос, но таких пространств мы не рассматривали)
Someone писал(а):
поэтому $[A]_X$ имеет не больше точек, чем имеется семейств подмножеств множества $A$.
Вот здесь непонятно, у нас любое пересечение окрестности точки $x$ с множеством $A$ дает подмножество $A$, то есть пересечений не больше кол-ва подмножеств:$2^{|A|}$. Разве не так?

ewert, можно ли тот факт, что из $A\subset{M}$ следует $M^{\bot}\subset{A^{\bot}}$ доказать так:
$X=A\oplus A^{\bot},X=M\oplus M^{\bot}\Rightarrow M^{\bot}\oplus A\subset X\Rightarrow M^{\bot}\subset A^{\bot}$?
И еще вопрос. Пусть $C=A\oplus B$. Означает ли это, что $c\in C$ единственным образом представляется в виде $c=a+b$, где $a\in A,b\in B$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.06.2008, 22:02 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Spook писал(а):
ewert, можно ли тот факт, что из $A\subset{M}$ следует $M^{\bot}\subset{A^{\bot}}$ доказать так:
$X=A\oplus A^{\bot},X=M\oplus M^{\bot}\Rightarrow M^{\bot}\oplus A\subset X\Rightarrow M^{\bot}\subset A^{\bot}$?

Может быть, и можно -- но не нужно. Всё гораздо тривиальнее. Чем шире исходное множество, тем больше требований предъявляется к его ортогональному дополнению и, следовательно, тем уже это дополнение.

Spook писал(а):
И еще вопрос. Пусть $C=A\oplus B$. Означает ли это, что $c\in C$ единственным образом представляется в виде $c=a+b$, где $a\in A,b\in B$?

Конечно. Он представляется таким образом просто по определению суммы, а единственность следует из ортогональности слагающих подпространств.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.06.2008, 22:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Spook писал(а):
Someone писал(а):
"Хаусдорфово" означает, что любые две различные точки пространства $X$ имеют непересекающиеся окрестности.
Означает ли это, что "хаусдорфость"=="дискретность"?(может и глупый вопрос, но таких пространств мы не рассматривали)


Дискретное пространство - это такое пространство, в котором каждое одноточечное подмножество является открытым. (Когда-то очень давно было другое определение, не эквивалентное этому: пространство называлось дискретным, если в нём пересечение любого семейства открытых множеств было открытым множеством.)

Хаусдорфово пространство не обязано быть дискретным. Определения у Вас не было, скорее всего, потому, что Вы рассматривали исключительно метрические пространства (векторные пространства с нормой или скалярным произведением - метрические), а они все хаусдорфовы, хотя и не дискретны.

Рассмотрим, например, обычную плоскость. Окрестностью точки на плоскости называется круг любого радиуса с центром в этой точке (обычно граничную окружность исключают, чтобы окрестность была открытым множеством, хотя это и не обязательно). Возьмём любые две различные точки на плоскости. Они имеют непересекающиеся окрестности (какие?), поэтому плоскость является хаусдорфовым пространством, хотя и не дискреным.

Spook писал(а):
Someone писал(а):
поэтому $[A]_X$ имеет не больше точек, чем имеется семейств подмножеств множества $A$.
Вот здесь непонятно, у нас любое пересечение окрестности точки $x$ с множеством $A$ дает подмножество $A$, то есть пересечений не больше кол-ва подмножеств:$2^{|A|}$. Разве не так?


Видите ли, это одно подмножество, вообще говоря, не определяет точку $x\in[A]_X$. Поэтому мы не можем сопоставить число точек и число подмножеств. Точка определяется именно семейством подмножеств - пересечений всевозможных её окрестностей с множеством $A$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.07.2008, 13:22 
Аватара пользователя


23/01/08
565
ewert писал(а):
Путаница какая-то. Во-первых, замкнута любая ортогональная последовательность (если нормы её членов ограничены снизу) -- у неё попросту нет предельных элементов.

Касательно наличия предельных элементов: последовательность ${e_k}$ (единичка на $k$-м месте) вроде как имеет предел, и он равен $\theta$.
ewert писал(а):
Spook писал(а):
Отсюда вывод, что $span\overline{M}\subseteq\overline{spanM}$. Надеюсь, сейчас правильно.

Правильно; только откуда "отсюда"? -- не любое $M$ является ортогональной последовательностью.
ну разве мы не можем неортогональный элемент представить в виде линейной комбинации из ортогональных?

Someone писал(а):
Определения у Вас не было, скорее всего, потому, что Вы рассматривали исключительно метрические пространства (векторные пространства с нормой или скалярным произведением - метрические)
Да, у нас были только метрические пространства, затем банаховы, гильбертовы, евклидовы и эрмитовы...
Someone писал(а):
Возьмём любые две различные точки на плоскости. Они имеют непересекающиеся окрестности (какие?).
Ну, видимо, радиус окрестности (открытой) равен половине расстояния между точками.
Someone писал(а):
Видите ли, это одно подмножество, вообще говоря, не определяет точку $x\in[A]_X$. Поэтому мы не можем сопоставить число точек и число подмножеств. Точка определяется именно семейством подмножеств - пересечений всевозможных её окрестностей с множеством $A$.
Cпасибо, теперь стало понятно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.07.2008, 21:44 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Spook писал(а):
ewert писал(а):
Путаница какая-то. Во-первых, замкнута любая ортогональная последовательность (если нормы её членов ограничены снизу) -- у неё попросту нет предельных элементов.

Касательно наличия предельных элементов: последовательность ${e_k}$ (единичка на $k$-м месте) вроде как имеет предел, и он равен $\theta$.

не знаю, кто такая тета, но никакого предела та последовательность с единичками определённо не имеет. (В стандартном смысле -- по норме -- не имеет; в слабом-то смысле она стремится к нулю, но кому это интересно).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.07.2008, 11:41 
Аватара пользователя


23/01/08
565
ewert писал(а):
никакого предела та последовательность с единичками определённо не имеет. (В стандартном смысле -- по норме -- не имеет; в слабом-то смысле она стремится к нулю, но кому это интересно).
По норме - да, она не сходится. Я просто не знал, что в стандартном смысле - это по норме.

И вот, наверное, последний вопрос.
ewert писал(а):
...замкнута любая ортогональная последовательность (если нормы её членов ограничены снизу)
Как я понял здесь существенно требовние ограниченности снизу положительным числом. Не мог бы кто-нибудь обьяснить, почему это так?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.07.2008, 11:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Spook писал(а):
И вот, наверное, последний вопрос.
ewert писал(а):
...замкнута любая ортогональная последовательность (если нормы её членов ограничены снизу)
Как я понял здесь существенно требовние ограниченности снизу положительным числом. Не мог бы кто-нибудь обьяснить, почему это так?

Потому что если это не так, то для такой последовательности нулевой элемент будет предельной точкой (соотв., мн-во эл-тов последовательности будет незамкнутым). А вот других предельных точек быть не может в любом случае.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.07.2008, 12:36 
Аватара пользователя


23/01/08
565
ewert так тогда заместо нуля, предельным элементом будет просто то положительное число.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 79 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group