2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вероятность содержания в выборке мощности n всех цветов k
Сообщение12.04.2018, 15:00 


06/11/17
9
Всем доброго времени суток!

Эксперимент поставлен следующим образом:
Шары раскрашены в k цветов.
Последовательно берется n шаров(по одному за раз) и складываются в корзину. Цвета шаров равновероятны.
Определить вероятности, что в корзине окажутся шары всех k цветов для разных n.
Ответ получил такой:
$$\frac{\tilde C_{k}^{n-k}} {\tilde C_{k}^{n}}$$

фиксируем k шариков разных цветов, берем оставшееся кол-во комбинаций - число сочетаний с повторами и делим на полное число сочетаний с повторами. Вроде логично. Но числа получаются уж очень большими. Скажем, для 50 цветов нужно выбрать 1832 шарика, чтобы искомая вероятность оказалась всего лишь 26.25%. Моделирование с генератором случ.чисел тоже говорит, что считается неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность содержания в выборке мощности n всех цветов k
Сообщение12.04.2018, 15:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Мне это напомнило задачу: по $k$ лункам равновероятно разбрасывается $n$ шариков. Какова вероятность того, что в каждой лунке будет шарик. (С многочисленными вариантами вопроса). Похоже?
Для $n=k$ задача решается просто. В вашей формулировке — какова вероятность за первые $k$ выниманий вынуть шары всех цветов. Этим частным случаем легко проверять полученные вами ответы для общего случая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность содержания в выборке мощности n всех цветов k
Сообщение12.04.2018, 15:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
У вас тут получается, что заранее зафиксировано, что данные $k$ номеров извлечения (например первые $k$) дадут все разные цвета. Но есть куча комбинаций, когда цвета среди первых $k$ повторяются, но всё равно все $n$ шаров дают все цвета.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность содержания в выборке мощности n всех цветов k
Сообщение12.04.2018, 15:52 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
sergbolgov в сообщении #1303501 писал(а):
фиксируем k шариков разных цветов,

Куда? Куда и чем мы их фиксируем, спрашиваю я своих студентов в таких случаях...
Вообще, это - достаточно типичная ситуация для нынешнего ЕГЭшного мира: быстро-быстро взять какую-нибудь формулу, засунуть в нее данные, и получить что-то...Нетипично -критически воспринять результат, и попробовать проверить. Но, опять же, как: численный эксперимент ...Это позволит понять, что что-то не так. Но - что? А для этого надо не сбольшими числами работать, а с маленькими, причем - ручками....
Но - к делу. Начинать решение вероятностной задачи надо не с попытки засунуть ее в рамки- формулы (это - тоже будет, но - попозжа), а с осознания мира, в котором мы живем (надо построить вероятностное пространство, если на научном языке).
Итак, что у нас есть? Шары, $k$ цветов. Вот мы взяли первый шар, записали его цвет. Вот - второй, и т.д. Что получилось? А получился - (упорядоченный) набор. Длины - $n$, числа в наборе - от 1 до $k$ ( номера цветов). Для полного счастя, можно сказать, что все наборы равновероятны, так что - (вот и засунута задача в свои - грубые - рамки) - вероятность у нас - классическая (модель состряпана. ) Ну, а теперь можно и посмотреть, что же в задаче спрашивается? Ага, про наборы, в которых есть все цвета. И как мы (Вы, в смысле), хотели ее решать? Кого же Вы фиксировали? Места, на которых появились эти шары? Это - первые $k$ мест? Или - последние? Или какие? Или не места? Или кто?
Если - первые, то не факт: вдруг поначалу были повторы, а потом появились недостающие... Если - последние - аналогично: не все комбинации будут сосчитаны. Если же сложить по всем вариантам, то, наоборот, повторы начнутся...
Вобщем, проделайте ручками - выписав вообще все варианты выпадения шаров, и отметив потом среди них благоприятные - для трех шаров двух цветов. И сравните с Вашей попыткой - где же там была лажа (Вообще, ошибаться полезно и поучительно - если свои ошибки находить и "фиксировать") . Ну, а потом можно и в общем случае пообсуждать. Но, имейте в виду, ответ будет достаточно поганый.....

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность содержания в выборке мощности n всех цветов k
Сообщение12.04.2018, 16:48 


06/11/17
9
а, неравновероятны комбинации будут, мда..
стал быть в знаменателе должен стоять $$k^n$$
Но как считать числитель?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность содержания в выборке мощности n всех цветов k
Сообщение12.04.2018, 22:44 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
sergbolgov в сообщении #1303515 писал(а):
мда..
стал быть в знаменателе должен стоять

(Оффтоп)

Нда. Современный студент попался: думать не хочет, а решить - хочет...

Да.
Как? Ну, есть такая формула - включений-исключений называется...
Но толку таки не будет, пока Вы не врубитесь в существо дела.
А начинать надо - опять с простого, иначе запутаетесь.
Именно, решите задачу для а) двух цветов. Это - просто: надо просто выбросить нехорошие наборы.
б) для трех конкретных цветов. Это уже посложнее, но идея - та же, и а) - поможет, надо только быть повнимательнее...
Ну, а коль это осилите - то и та формула заработает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность содержания в выборке мощности n всех цветов k
Сообщение16.04.2018, 14:12 


06/11/17
9
ну, вроде так:
$$1-\frac{\sum\limits_{i=1}^n(-1)^iC_{k}^{k-i}(k-i)^n} {k^n}$$

-- 16.04.2018, 14:28 --

sergbolgov в сообщении #1304739 писал(а):
ну, вроде так:
$$1-\frac{\sum\limits_{i=1}^n(-1)^iC_{k}^{k-i}(k-i)^n} {k^n}$$


нет, не так((

-- 16.04.2018, 14:47 --

sergbolgov в сообщении #1304739 писал(а):
ну, вроде так:
$$1-\frac{\sum\limits_{i=1}^n(-1)^iC_{k}^{k-i}(k-i)^n} {k^n}$$

-- 16.04.2018, 14:28 --

sergbolgov в сообщении #1304739 писал(а):
ну, вроде так:
$$1-\frac{\sum\limits_{i=1}^n(-1)^iC_{k}^{k-i}(k-i)^n} {k^n}$$


нет, не так((


не, все так, только сумма идет не до n, а до k

Вот только не нравится, что для случая k > n не будет нуля или беллиберды хотя бы((

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность содержания в выборке мощности n всех цветов k
Сообщение16.04.2018, 15:17 


06/11/17
9
и минус на плюс заменить

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность содержания в выборке мощности n всех цветов k
Сообщение16.04.2018, 15:29 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
sergbolgov в сообщении #1304739 писал(а):
не, все так, только сумма идет не до n, а до k

И знак перед суммой не тот.
А нуль - будет, если цэшки понимать правильно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность содержания в выборке мощности n всех цветов k
Сообщение16.04.2018, 15:33 


06/11/17
9
sergbolgov в сообщении #1304739 писал(а):
Вот только не нравится, что для случая k > n не будет нуля или беллиберды хотя бы((

Будет ноль, совсем шикарно:)

Не знаю, можно ли здесь похожую задачку спросить? Да простит меня сообщество, если что нарушаю:
а какова будет вероятность содержания в выборке мощности n половины всех имеющихся цветов k?

-- 16.04.2018, 15:39 --

[quote="DeBill в [url=http://dxdy.ru/post1304780.html#p1304780]
А нуль - будет, если цэшки понимать правильно...[/quote]

цешки... там же еще степени, да разные основания- вот как вместе с ними понимать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность содержания в выборке мощности n всех цветов k
Сообщение16.04.2018, 15:47 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
А, нормальные тут цэшки.
А тождество - да, достаточно нетривиальное. Оно где-то на форуме уже обсуждалось.
Посмотрю, может, найду.

-- 16.04.2018, 17:51 --

«Неожиданное разложение числа в степени»

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность содержания в выборке мощности n всех цветов k
Сообщение16.04.2018, 16:59 


06/11/17
9
DeBill в сообщении #1304791 писал(а):

клева, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group