2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Частица в "логарифмическом колодце"
Сообщение04.04.2018, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
Red_Herring в сообщении #1301628 писал(а):
А кто такой T?

Это стандартное обозначение для кинетической энергии вида $
\sum_{n=1}^N \frac{p_n^2}{2m_n}$.
Red_Herring в сообщении #1301628 писал(а):
Какова размерность

Всего имеется $N$ сопряженных координат и импульсов частиц + две дополнительные координаты термостата. Это в виртуальном пространстве. В реальном, одна из доп.координат потом исчезает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частица в "логарифмическом колодце"
Сообщение04.04.2018, 21:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Т.е. $$\mathcal{H}_N =  \frac{p_s^2}{2Q} + (gk\ln(s) +s^{-2})T +V, $$ где $$T=\frac{1}{2m} \sum_{1\le n\le N}p_n^2,$$ $s>0$. Так? А кто такие $V, Q$? Но даже при $V=0$ уже здесь неясно, какое условие при $s=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частица в "логарифмическом колодце"
Сообщение04.04.2018, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
Red_Herring в сообщении #1301661 писал(а):
Т.е.

Ооой, я идиот. :facepalm:
$T$ в $gkT$ -- это температура. А кинетическая энергия отдельно. Извините за путаницу.
$V$ -- это потенциальная энергия для системы частиц. Если $s=1$ и $p_s = 0$, Гамильтониан переходит в простой Гамильтониан для системы частиц.

Про $Q$ я писал выше: это просто параметр, имеющий смысл массы для доп.степени свободы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частица в "логарифмическом колодце"
Сообщение04.04.2018, 22:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Разводим $T=K$ киметическую энергию и $T$ температуру
$$\mathcal{H}_N =  s^{-2}K + \frac{p_s^2}{2Q} + gkT\ln(s) + V, $$ где $$К=\frac{1}{2m} \sum_{1\le n\le N}p_n^2,$$ $s>0$.

Но что такое $V$ число, функция от $s$ ... и какое условие при $s=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Частица в "логарифмическом колодце"
Сообщение04.04.2018, 23:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
Так, я наконец добрался до компьютера, и поподробнее опишу модель и задачу.
Если взять систему изолированных частиц с гамильтонианом:
$\mathcal{H} = \underbrace{ \sum_{n=1}^N \frac{p_n^2}{2 m_n} }_{E_\mathrm{kin}} + V$, то (в предположении выполнения эргодической гипотезы) среднее значение некоторой наблюдаемой $\mathcal{O}(\mathbf{r},\mathbf{p})$ ($\mathbf{r}=(r_1, r_2, \ldots, r_N)^\dagger, \ \mathbf{p}=(p_1, p_2, \ldots, p_N)^\dagger,$ -- координаты и виртуальные импульсы частиц) будет равно: $\langle \mathcal{O} \rangle_{\Gamma} = \langle \mathcal{O} \rangle_{t} =  \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} dt \mathcal{O}(\mathbf{r}(t),\mathbf{p}(t))$ (где $\langle \ldots \rangle_{\Gamma}$ обозначает усреднение по фазовому пространству с соответствующей весовой функцией) и будет являться реализацией $NVE$-ансамбля (микроканонического, т.е. модели изолированной системы). А в термодинамике людей чаще интересует замкнутая система, описываемая в виде $NVT$-ансамбля (a.k.a. канонического).

Чтобы не интегрировать по всему фазовому пространству, а обойтись всего лишь интегрированием по времени уравнений движения, но при этом получить всё равно в результате $NVT$-ансамбль, были придуманы различные термостаты -- костыли, которые пинают систему туды-сюды. Один из таких термостатов -- термостат Нозе-Хувера (Nose-Hoover).
Строится он так: дополнительная степень свободы $s>0$, масштабирующая скорости (или что эквивалентно, шаг по времени), добавляется в гамильтониан следующим макаром:
$\mathcal{H}_\mathrm{Nose} = \overbrace{ \sum_{n=1}^N \frac{p_n^2}{2 m_n s^2} + V(\mathbf{r}) + \frac{p_s}{2Q} }^{\mathcal{H}'} + V_s(s) $, где $p_s$ -- сопряжённый импульс для координаты $s$, а $Q$ -- эффективная масса новой степени свободы.
Принимается предположение об эргодичности траектории, поэтому среднее значение для наблюдаемой $\mathcal{O}$ можно записать как (с точностью до множителя $\frac{1}{Z}$, где $Z = \langle 1 \rangle$ -- статсумма):
$\langle \mathcal{O} \rangle \propto \int ds \int dp_s \int d\mathbf{r} \int d\mathbf{p} \delta(E - \mathcal{H}_\mathrm{Nose}) \mathcal{O} $.
Вводя новые импульсы $\mathbf{P} = \frac{\mathbf{p}}{s}$ (т.е. $d\mathbf{p} = s^N d\mathbf{P} \mathcal{O} $, получается следующее выражение:
$\langle \mathcal{O} \rangle \propto \int dp_s \int d\mathbf{r} \int d\mathbf{P} \mathcal{O} \underbrace{\int ds  s^N   \delta(E - \mathcal{H}' - V_s(s)) }_{W(\mathbf{r}, \mathbf{P}, \mathbf{p_s})}  $.
Оооочень бы хотелось, чтобы эффективный вес в фазовом пространстве без координаты $s$ был бы обычным больцмановским весом:
$W(\mathbf{r}, \mathbf{P}, \mathbf{p_s}) \propto \exp(\frac{E -\mathcal{H}' }{kT})$, где $T$ -- температура (степень свободы $p_s$ никому жизнь не портит, т.к. в $\mathcal{O}$ её нет, поэтому она исчезнет при делении на $Z$). Тогда, используя свойство $\delta$-функции: $\int dx \delta(x-\tilde{x}) f(x) = f(\tilde{x})$, получаем уравнение:
$W(E - \mathcal{H}') = \int ds    \delta(E - \mathcal{H}' - V_s(s)) s^N  = \int f(V_s) dV_s  \delta(E - \mathcal{H}' - V_s) \propto  \exp(\frac{E -\mathcal{H}' }{kT}) $.
Из этого следует, что мы можем взять $f(V_s) = \exp(\frac{V_s}{kT})$, т.е.
$ \int ds  \delta(E - \mathcal{H}' - V_s(s)) s^N  = \int dV_s \exp(\frac{V_s}{kT})   \delta(E - \mathcal{H}' - V_s)$, т.е.
$s^N ds =   \exp(\frac{V_s}{kT}) dV_s \ \ \Rightarrow \int_{0}^s \tilde{s}^N d\tilde{s} = \int_{-\infty}^{V_s} \exp(\frac{\tilde{V_s}}{kT}) d\tilde{V_s}$
Итого:
$kT \exp(\frac{V_s}{kT}) = s^{N+1} $, т.е. $V_s(s) = \underbrace{(N+1)}_{g} kT \ln(s) + \operatorname{const}$.

Поэтому предполагаю, что если пытаться квантовать остаток гамильтониана $\mathcal{H}_s = \frac{p_s^2}{2Q} + gkT \ln(s)$, логично наложить условие $\psi(s=0) = 0$, т.к. вероятность полной "остановки" системы за счёт зануления $s$ должна быть в точности нулём.

Red_Herring в сообщении #1301693 писал(а):
Но что такое V число, функция от s ...?

т.е. $V=V(\mathbf{r})$, т.к. $s$ присоединена к системе только через изменение $E_\mathrm{kin} = K$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частица в "логарифмическом колодце"
Сообщение05.04.2018, 12:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
madschumacher
Тогда все, что мы обсуждали не по делу. Прежде всего надо найти нижнее с.з. $\lambda(s)$ оператора
$$s^{-2}\sum \frac{p_n^2}{2m}+V(\mathbf{r}).$$
И тогда по $s$ у нас будет оператор
$$
\frac{p_s^2}{2Q} + (k\ln (s)+\lambda(s)).
$$
И тут дьявол в деталях. Рассмотрю примеры

а. $V(\mathbf{r})=0$, но частицы в прямоугольном ящике. Тогда $\lambda(s)=c^2s^{-2}$ и Ваш потенциал вблизи $s=0$ никакой нафиг не логарифмический притягивающий, а очень даже сильно отталкивающий за счет $cs^{-2}$. И в любом решении ведущий член будет $s^{\pm\kappa}$, где $\kappa >0$ легко посчитать. Но $s^{-\kappa}$ надо отвергнуть, поскольку оператор определяется через формы, и $\psi'\motin L^2$. T.e. $\psi(0)=0$ автоматом (т.е. об условии думать не надо).

b. $V(\mathbf{r})=0$, но частицы в в прямоугольном ящике, только граничные значения такие, что $\lambda(s)=0$. Ну тогда действительно логарифмический притягивающий. И надо думать о граничном условии.

c. $V(\mathbf{r})=\mathbf{r}^2$. Тогда $\lambda(s)=cs^{-1}$ и Ваш потенциал вблизи $s=0$ никакой нафиг не логарифмический притягивающий, а отталкивающий за счет $cs^{-1}$. Но тогда опять $\psi(0)=0$ автоматом (т.е. об условии думать не надо).

 Профиль  
                  
 
 Re: Частица в "логарифмическом колодце"
Сообщение05.04.2018, 15:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Несколько натянутая аналогия. Солнце притягивает космический корабль, потенциал $-r^{-1}Mm$. Но если мы отделим угловую составляющую движения, то эффективный потенциал станет $\frac{1}{2m}r^{-2}J^2 -r^{-1}Mm$, где $J$ угловой момент. Т.е. вблизи себя Солнце "отталкивает" космический корабль и весьма сильно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group