Аппроксимация экспоненциальной функцией

[Евгений Машеров]

Исследование методом, предложенным мной выше (параметры взяты указанных условий имитационного моделирования).
Положим, что есть модель вида $y=f(X,a)+\varepsilon$
и точные значения вектора параметров $a^p$ известны, интерес представляет влияние ошибок. Ошибки достаточно малы, чтобы можно было бы линеаризовать модель к виду $y-f(X,a_p)=\Sigma \frac {\partial a_i}{\partial x} (a_i-a_i^p)+\varepsilon$
Тогда можно оценить погрешности оценивания $Delta_i=a_i-a_i^p$ через дисперсии коэффициентов вспомогательной линейной модели, равные диагональным элементам матрицы ковариаций коэффициентов $C=\sigma^2 (Z^TZ)^{-1}$, где Z - матрица, составленная из частных производных. Оказалось, что дисперсии оценок коэффициентов a и b для квантования с равным шагом по сигналу выше на 14%. Объясняется это тем, что для данного набора параметров корреляция между частными производными по a и b составила 2.5% для равномерного по времени квантования и 35.3% для квантования с равным шагом по сигналу. Это и привело к снижению точности оценивания по обоим параметрам.

[realeugene]

Евгений Машеров в сообщении #1298430 писал(а):

И все оценки посыпятся. Там интересные эффекты бывают, из-за автокорреляции.

Простые методы посыпятся?
Лишние точки всегда можно выкинуть, если ваша модель ломается на корреляциях между соседями. Добавить недостающие сложнее.

-- 20.03.2018, 13:17 --

Александрович в сообщении #1298456 писал(а):

Мне интуитивно казалась, что чем быстрее меняется наблюдаемая величина, тем чаще нужно делать отсчёты. А иначе какой смысл в начале проспать самое интересное, а потом долго и нудно наблюдать за слабо меняющейся величиной?

А мне интуитивно кажется, что если ваши технические возможности позволяют делать отсчёты с некоторым минимальным пириодом, то быстрее их вы всё равно не сделаете.

[Александрович]

realeugene, Вы куда-то уходите в сторону. Вопрос был: какой вариант из двух представленных даст меньшую погрешность в определении параметров модельной формулы?

[realeugene]

Александрович в сообщении #1298519 писал(а):

Вопрос был: какой вариант из двух представленных даст меньшую погрешность в определении параметров модельной формулы?

К сожалению, вы не представили ни одного варианта.

[Александрович]

realeugene в сообщении #1298586 писал(а):

не представили ни одного варианта

Пары ${y_i;x_i}$ для нахождения параметров функции регрессии формируются:
1 вариант - через равные промежутки $x$;
2 вариант - через равные промежутки $y$.

[_hum_]

Евгений Машеров,
не совсем понятно, почему вы предлагаете регрессионный анализ, если у человека (судя по наличию возможности подбирать аргументы для получения нужного значения функции) нет случайности. Тут скорее задача интерполяции - какие узлы выбрать, чтобы получившаяся интерполяция давала минимальную разбежку с реальной функцией.

[realeugene]

Александрович в сообщении #1298612 писал(а):

Пары ${y_i;x_i}$ для нахождения параметров функции регрессии формируются:
1 вариант - через равные промежутки $x$;
2 вариант - через равные промежутки $y$.

И всё равно, вы не представили ни одного варианта. На достаточном для его анализа уровне. Вашу задачу можно домысливать кучей различных способов.

[Александрович]

_hum_ в сообщении #1298614 писал(а):

нет случайности

На $y$ накладываются случайные отклонения.

-- Ср мар 21, 2018 00:19:12 --

realeugene в сообщении #1298624 писал(а):

И всё равно, вы не представили ни одного варианта.

По обоим вариантам было проведено статистическое моделирование. Методика показана. Осталась самая малость, выбрать из двух один.

[_hum_]

Александрович в сообщении #1298626 писал(а):

На $y$ накладываются случайные отклонения.

если бы они накладывались, тогда бы вы принципиально не могли бы реализовать вариант

Александрович в сообщении #1298023 писал(а):

2. Отчёты фиксируются через равные значения напряжения $\Delta U$

(потому как случайная ошибка не позволяла бы вам получить точно расположенные через $\Delta U$ значения напряжения)

[waxtep]

_hum_ в сообщении #1298631 писал(а):

потому как случайная ошибка не позволяла бы вам получить точно расположенные через $\Delta U$ значения напряжения

Но, ведь этого и не требуется: измеренные (реальным вольтметром, с погрешностью) значения напряжения идут через равные интервалы $\Delta U$, а не истинные, к-рые ненаблюдаемы. Следим за вольтметром, записываем отсчеты времени через каждые $\Delta U$ вольт (по вольтметру), нет существенной разницы по сравнению с измерениями через равные промежутки времени

[_hum_]

waxtep
если речь про непрерывную шкалу, то вероятность получить заранее заданное значение зашумленного напряжения - нуль, как бы вы не подбирали время $t$.

[Александрович]

_hum_ в сообщении #1298631 писал(а):

потому как случайная ошибка не позволяла бы вам получить точно расположенные через $\Delta U$ значения напряжения

Да точно и не нужно. Тут вопрос принципиальный, следует ли увеличить количество отчётов в области быстрых изменений $y$ за счёт уменьшения их там, где изменения медленные?

[_hum_]

Александрович
я вообще про вашу постановку проблемы. если у вас нет шума (вы считаете его несущественным), то это не вопросы регрессии, а вопросы либо интерполяции (при каких параметрах ваша экспоненциальная модель будет мало отличаться от реальной, возможно, не экспоненциальной), либо прямой идентификации модели (считаете, что модель у вас точная, и нужно токо найти коэффициенты. тогда взяли три точки, составили три уравнения, решили)

[Александрович]

_hum_ в сообщении #1298694 писал(а):

считаете, что модель у вас точная

Модель по определению это приближение.

[_hum_]

Александрович в сообщении #1298695 писал(а):

_hum_ в сообщении #1298694 писал(а):

считаете, что модель у вас точная

Модель по определению это приближение.

так смыслы приближений разные. точная модель отбрасывает только всё несущественное для цели исследования, тогда как приближенная дает неточные результаты и для существенных аспектов исследования.