2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Что есть предел стрелки (категории)?
Сообщение25.02.2018, 09:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Разбираюсь с пределами.
Во всех текстах приводятся примеры $1$ - предел пустой диаграммы, произведение - предел диаграммы без стрелок, уравнитель.. А вот что такое предел простейшей диаграммы
$a \stackrel{f}{\to} b$
нигде не объясняют ;( ну или я не нашел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что есть предел стрелки (категории)?
Сообщение25.02.2018, 09:54 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Потому что это несложное упражнение на понимание определение предела (как и предел пустой диаграммы, например). Посмотрите на определение и должно стать понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что есть предел стрелки (категории)?
Сообщение25.02.2018, 11:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Такой типа педагогический заговор молчания (даже в качестве упражнения не предлагать, чтобы сами догадались)?
Ну, может быть.
В таком случае извиняюсь за невольный спойлер.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что есть предел стрелки (категории)?
Сообщение25.02.2018, 19:30 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Не очень понятно, о каких именно «всех текстах» идёт речь; в книге Маклейна такое упражнение сформулировано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что есть предел стрелки (категории)?
Сообщение25.02.2018, 19:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Спасибо, Вы меня успокоили.
А то я уж думал - открыл важную тайну.
;)

 Профиль  
                  
 
 Re: Что есть предел стрелки (категории)?
Сообщение25.02.2018, 20:28 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Раз это простая задача, нестрашно сказать ответ.

(Внутри)

У меня получилось, что это «график морфизма»: для Set это будет график функции. Раз известны пулбэки, можно взять пулбэк интересующего $f$ с подходящим тождественным морфизмом, будет изоморфно.

А если теперь взять копредел, аналогично получится с пушаутом, но какое-то особое имя этому в голову не приходит.

Я в категориях пока не разбираюсь, так что поправляйте на здоровье.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что есть предел стрелки (категории)?
Сообщение25.02.2018, 21:26 
Заслуженный участник


08/01/12
915
arseniiv в сообщении #1294347 писал(а):
Раз это простая задача, нестрашно сказать ответ.

Я не очень понял, что там написано, но это не очень похоже на правильный ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что есть предел стрелки (категории)?
Сообщение25.02.2018, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Раз пошла такая пьянка, вот мой вариант:

(Оффтоп)

$a$ со стрелками $id_a$ и $f$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что есть предел стрелки (категории)?
Сообщение25.02.2018, 22:56 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
apriv
Ясно. :| Вот как можно рассуждать, как мне показалось. Пусть есть пулбэк диаграммы $X\stackrel{f}{\to}Y\stackrel{\mathrm{id}}{\gets}Y$, и это $(A,a_X,a_Y)$. Значит, $f\circ a_X = \mathrm{id}_Y\circ a_Y = a_Y$. Притом раз это пулбэк, для любых $(A',a'_X,a'_Y)$ с тем же свойством есть единственное $a'\colon A'\to A$ и выполняется $a_X\circ a' = a'_X$, $a_Y\circ a' = a'_Y$. Это и предыдущее — в точности те же требования, что и для предела диаграммы $X\stackrel{f}{\to}Y$, так что он тоже есть и является $(A,a_X,a_Y)$; ну и обратно, любой предел такой диаграммы выходит пределом соответствующей пулбэчной.

Потом, для такого пулбэка в Set будет $A = \{(x,y) : f(x) = \mathrm{id}_Y(y) = y, x\in X,y\in Y\}$. А это график функции $f$. (Ну и $a_X,a_Y$ будут ограничениями проекций из $X\times Y$ на $A$.)

Наверно, я зря написал слишком образное «график морфизма», насмотревшись на Set: конечно, и тут, и в любой категории $A\cong X$ с изоморфизмом $a_X$, об этом я как-то подумал только сейчас. Наверно, вы сразу же имели в виду $X$ и потому удивились.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что есть предел стрелки (категории)?
Сообщение26.02.2018, 03:03 
Аватара пользователя


04/10/15
291
apriv в сообщении #1294360 писал(а):
Я не очень понял, что там написано, но это не очень похоже на правильный ответ.

Правильный ведь. Предел стрелки $f: A \to B$ в категории множеств изоморфен подмножеству $A \times B,$ образованному такими парами $(a, b),$ что $b=f(a),$ то есть парами $(a, f(a)),$ а это, собственно, "график морфизма." Но легко видеть, что этот объект изоморфен $A.$

arseniiv в сообщении #1294347 писал(а):
А если теперь взять копредел, аналогично получится с пушаутом, но какое-то особое имя этому в голову не приходит.

Копредел этой диаграммы (опять в категории множеств) является фактормножеством $A \amalg B$ по наименьшему отношению эквивалентности, содержащему $(a \sim f(a)).$ То есть для каждого элемента $b \in B$ склеиваются все элементы из $f^{-1} (b),$ поэтому он изоморфен $B.$

Но, в данном случае, конечно, проще это просто понять из определения, угадав заранее ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что есть предел стрелки (категории)?
Сообщение27.02.2018, 15:57 
Заслуженный участник


08/01/12
915
iou в сообщении #1294397 писал(а):
Правильный ведь.

Да, действительно. Я как-то не ожидал использования специфики категории множеств в такой задаче. А «график морфизма» интересует нас обычно как подобъект в $A\times B$, потому что сам по себе он изоморфен $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что есть предел стрелки (категории)?
Сообщение27.02.2018, 19:33 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
apriv в сообщении #1294729 писал(а):
А «график морфизма» интересует нас обычно как подобъект в $A\times B$
Да, я решил ничего не говорить про подобъекты, потому что что-нибудь бы сказал не то. :-) Эх, надо уже будет сесть и разобраться с основами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group