Что такое дискретная математика?

[Padawan]

Правильно ли я понимаю, что дискретная математика работает с конечными объектами? А если и встречаются бесконечные объекты, то изучаются некоторые их конечные части.

Относятся ли к дискретной математике
теория множеств,
общая алгебра,
теория чисел ?

[Joker_vD]

Ерусалимский Я.М. в "Дискретная математика: теория, задачи, приложения", "Введение писал(а):

Математика как наука, естественно, от рождения делится на дискретную и континуальную математику. Что мы относим к континуальной математике? Все, что явно или неявно содержит идеи теории пределов и непрерывности. Все остальное — дискретная математика (т.е. арифметика, алгебра, теория множеств и общая теория отображений, математическая логика, комбинаторный анализ, теория алгоритмов и многое другое).
В учебный предмет "Дискретная математика" включают только тот круг вопросов, который можно озаглавить "Теоретические основы компьютерной математики".

Поэтому лично я думаю, что теория чисел относится к дискретной математике — используемые результаты из ТФВП и ТФКП все же не составляют основного ее содержания.

[PAV]

А вообще все эти деления и классификации всегда довольно условны. Ну какая разница, отнесем ли мы эти предметы к ДМ или нет? что от этого поменяется?

[Joker_vD]

PAV в сообщении #411020 писал(а):

какая разница, отнесем ли мы эти предметы к ДМ или нет? что от этого поменяется?

Как это какая? Учебные планы менять надо будет!

[Padawan]

Я вот теорию множеств и алгебру не отношу к дискретной математике, а с теорией чисел сомневаюсь. Интересует мнение специалистов по дискретной математике. В чем её суть?

[Someone]

Боюсь, что "дискретная математика" - это чисто организационное образование. Сюда "свалили" всё, что не входит в традиционные для технических ВУЗов курсы математики, но считается нужным для "компьютерных дисциплин". И придумали "обоснование", как у Ерусалимского.

[DSN]

Полностью согласна с Someone. Собрали всего помаленьку и назвали Дискретной математикой. Тут и теория высказываний, булева алгебра, предикаты, множества и графы, еще и теория автоматов и многое другое...

[JMH]

Есть разделы, которые не задумываясь можно назвать ДМ, например комбинаторика. Алгебру ДМ я бы называть поостерегся, ну а теорию множеств называть ДМ смешно - именно теория множеств является основой того, что было здесь названо "континуальной математикой".

Как насчет того, чтобы определить дискретность математики, как меру на множестве математических теорий?

[Portnov]

Из той же серии. Мои преподы в универе вводили следующее разделение: всё, что использует топологию и пределы (т.е. от матана до функана и дальше), называется высшей математикой; всё остальное — элементарной. Вот такая вот классификация.

[Zealint]

Цитата:

Интересует мнение специалистов по дискретной математике. В чем её суть?

А кто такой "специалист по дискретной математике"? Я вижу в дискретной математике такие вещи как теоретические аспекты любых вычислительных алгоритмов, теорию графов, логику, комбинаторику, туда же можно сунуть задачи оптимизации. Хотя как же так! Этим занимается уже математическое программирование. Но нет, грани настолько условны, что сказать точно, кто чем занимается весьма трудно. Может, например, получиться, что задача по комбинаторике, а ответ получается в виде интеграла, исследовать который нужно методами матанализа.

[PAV]

Рискну высказать свое ИМХО, что более-менее точным критерием принадлежности к дискретной математике является, если можно так сказать, "конструктивность" изучаемых объектов. То есть их конечное число, они могут быть точно описаны конечной записью, и задачи обычно в теории допускают точное "переборное" решение. Как-то так.

-- Пт фев 11, 2011 16:19:31 --

Тема перенесена из "Помогите решить/разобраться" в корневой раздел

[Portnov]

По-моему, конструктивистская математика — это ортогональное понятие. Вроде у конструктивистов и для понятий из классического матанализа (производные там всякие) конструкции есть.

[Черный Евгений]

(Оффтоп)

В свое время Демокрит, один из отцов гипотезы о дискретном основании природы, попробовал создать дискретную математику. Сегодня ей соответствует целочисленная арифметика. Там всегда была и всегда будет одна нерешенная задача, а именно - что делать с остатком от целочисленного деления. Математика не может дать ответа на этот вопрос. Поэтому с дискретной матаматикой у Демокрита не получилось.
Если предположить мир дискретным, то природа обязана давать на этот вопрос ответ. Если этот мир дискретный, то любая энергия должна состоять из квантов. Предположим, что при соударении двух молекул газа их кинетическая энергия в 11 квант должна разделиться между ними пополам. Тогда возможны 3 варианта деления (5 и 6 квантов) (6 и 5 квантов) (5 и 5 квантов и квант в остатке, не присоединенный ни к одной из молекул). Последний вариант нарушает закон сохранения энергии. А два первых требуют от природы случайного решения, что она по всей видимости и делает.
Согласившись с этой гипотезой, можно насмешить 99,999...% мехматовцев, но зато получить строгий ответ по крайней мере на несколько вопросов:
1) откуда в природе берется случайное
2) почему между квадратами скоростей (кинетичекими энергиями) частиц газа в термодинамическом процессе устанавливается нормальное распределение
3) почему практически все процессы в природе необратимы.

PAV:

Предупреждение за оффтопик! Ваше сообщение: (а) не относится к вопросу темы; (б) спорное и малосодержательное

[beroal]

Извиняюсь, что поднимаю древнюю тему. IMHO, пока существует понятие «дискретная математика», тема будет актуальна.

Есть нетопологический оператор замыкания. Он получается, если из определения топологического оператора замыкания выбросить аксиому

$$\operatorname{cl}A\lor B \leq (\operatorname{cl}A)\lor(\operatorname{cl}B).$$

Точное определение можно посмотреть в Википедии. Нетопологический оператор замыкания определён для предпорядка. Часто рассматривается его частный случай, когда в качестве этого предпорядка взято включение множеств. Примеры нетопологического оператора замыкания: замыкание по алгебраической структуре, замыкание по системе вывода (замыкание по дедукции). Многие понятия топологии обобщаются для нетопологического оператора замыкания. В частности, понятие непрерывной функции обобщается.

У меня сложилось впечатление, что теория порядков, алгебра, логика относятся к дискретной математике. Но непрерывность принадлежит непрерывной математике. Нетопологический оператор замыкания ещё принадлежит дискретной математике или уже нет? Хотелось бы услышать ответ от сторонников деления математики на дискретную и непрерывную.

[eugensk]

А! это я знаю. Он производит сечение, и мы выбираем для него класс произвольно.