2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Касательная к двумерной кривой
Сообщение19.02.2018, 16:56 


16/08/05
1146
Дана кривая $x-y^2+x^3 y-1008x^5 y^3+46x^7 y^{11}-x^{13} y^7-53=0$, на ней лежит точка $(3,2)$. Постройте (можно в любом мат.пакете) касательную прямую в этой точке без вычисления производной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательная к двумерной кривой
Сообщение19.02.2018, 17:47 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
dmd в сообщении #1293258 писал(а):
касательную прямую в этой точке без вычисления производной
И как вы себе это представляете? Вот я, глядя на потолок, говорю: касательная прямая $y=5x-13$. И что есть, по-вашему, $5$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательная к двумерной кривой
Сообщение19.02.2018, 18:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Если в мат. пакете, то имеется ввиду какое-то численное решение чтоли? Пусть будет так: у прямой $y=k(x-3)+2$ начинаем крутить $k$ с какого-то начального значения, например, дихотомией, до тех пор, пока вторая точка секущей не приблизится к первой на расстояние эпсилон. Для нахождения второй точки надо искать решение системы нелинейных уравнений, исходя из подходящего начального приближения.

(Оффтоп)

извращение какое-то

Может, ТС что-то конкретизирует: откуда задача, зачем, кто все эти люди..

-- 19.02.2018, 20:30 --

Вместо системы, конечно же можно решать одно нелинейное уравнение и даже не гадать над начальным приближением, а сравнивать все полученные корни с точкой касания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательная к двумерной кривой
Сообщение19.02.2018, 22:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Зачем тут пакеты? Раскрываем скобки в выражении
$$
(x+3)-(y+2)^2+(x+3)^3(y+2)-1008(x+3)^5(y+2)^3+46(x+3)^7(y+2)^{11}-(x+3)^{13}(y+2)^7-53,
$$
оставляя только линейные члены. Получаем $ax+by$. Уравнение касательной $a(x-3)+b(y-2)=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательная к двумерной кривой
Сообщение19.02.2018, 22:15 


16/08/05
1146
alcoholist

Верно!

Изображение

Идея отсюда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательная к двумерной кривой
Сообщение19.02.2018, 23:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
dmd в сообщении #1293327 писал(а):
Верно!

обоснование правильности такого решения использует бесконечно малые

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательная к двумерной кривой
Сообщение19.02.2018, 23:08 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
dmd
И чем это «без вычисления производной»?

Подобным образом пользуются дуальными числами (ассоциативная алгебра над $\mathbb R$, получаемая добавлением элемента $\varepsilon$, $\varepsilon^2 = 0$), чтобы считать производные: для аналитической функции $f(a + b\varepsilon) = f(a) + f'(a)b\varepsilon$. При нахождении $(a + b\varepsilon)^n$, можно сказать, тоже просто отбрасываются квадратичные и более по $\varepsilon$ слагаемые.

И если взять вместо этой алгебры получаемую добавлением элемента, дающего 0 в более высокой степени, можно находить вторые и далее производные, ну и упомянутая в теме штука в обобщения совершенно нормально ложится. Связь с производной более чем очевидна, так что смысла говорить, что она тут не вычисляется, немного. (Или много? Если есть хорошая аргументация — буду рад увидеть и поправиться.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group