2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопрос по разложению генераторов группы Ли...
Сообщение25.01.2018, 08:30 


16/03/07
825
Как известно, коммутаторы генераторов группы Ли $T_a$ можно выразить через сами генераторы
$$[T^a, T^b]=T^a T^b-T^b T^a=i f_{abc} T^c$$
где $f_{abc}$ - полностью антисимметричные структурные константы группы.

Можно ли подобное выражение записать для произведений генераторов группы ($I$ - единичная матрица, $h_0, h_{abc}$ - некоторые константы)
$$T^a T^b=h_{0} I+h_{abc} T^c$$
?

Например, для групп $SU(n)$ это можно сделать, так как известно разложение не только коммутатора генераторов, но и антикоммутатора
$$\{T^a, T^b\}=T^a T^b+T^b T^a=\frac{\delta_{ab}}{n} I+d_{abc} T^c$$
где $d_{abc}$ - полностью симметричные d-константы группы $SU(n)$. Соответственно
$$T^a T^b=\frac{\delta_{ab}}{2n} I+\frac{d_{abc}+i f_{abc}}{2} T^c$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по разложению генераторов группы Ли...
Сообщение25.01.2018, 10:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Мне навскидку кажется, что антикоммутатор, в отличие от коммутатора, будет зависеть от представления алгебры/группы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по разложению генераторов группы Ли...
Сообщение25.01.2018, 11:08 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
VladTK в сообщении #1287235 писал(а):
для произведений генераторов группы
А что это такое? Если у вас была просто какая-то абстрактная группа Ли, то в её алгебре Ли изначально нет никакого "произведения", кроме коммутатора (вернее, коммутатор -- это и есть произведение этой алгебры, и он, изначально, не представлен в виде разности чего-то там). То есть тут надо сказать либо "группа Ли была матричная -- то есть подгруппа $GL(n,\mathbb R)$", либо "я знаю теорему Адо". Но даже если алгебра Ли матричная, это не означает, что произведение (обычное матричное, а не коммутатор) тоже попадёт в алгебру. Вот коммутатор попадёт обязательно.

VladTK в сообщении #1287235 писал(а):
$$[T^a, T^b]=T^a T^b-T^b T^a=i f_{abc} T^c$$
Дальше. Группа Ли, изначально -- вещественное векторное пространство, и поэтому прежде чем умножать что-то на $i$, надо тоже говорить какие-то слова: "рассматриваем не саму алгебру, а её комплексификацию". Физики обычно сразу всё комплексифицируют и генераторы выбирают эрмитовыми (домножая "истинные" генераторы на $i$: алгебра $su(n)$ состоит из косоэрмитовых матриц).

Комплексифицируя алгебру $su(n)$, мы получаем комплексную алгебру Ли $su(n)_\mathbb C$, изоморфную алгебре комплексных $n\times n$ матриц с нулевым следом (с обычным сложением и коммутатором $[a,b]=ab-ba$). Комплексная размерность всего векторного пространства $n\times n$ матриц есть $n^2$, условие нулевого следа понижает её на $1$, и поэтому если мы добавим туда ещё единичную матрицу, которая там не лежит, то увеличим размерность на $1$ и тем самым получим всё пространство $n\times n$ матриц. В таком случае, конечно, любую матрицу можно будет представить в виде линейной комбинации единичной матрицы и элемента из нашей алгебры (который, в свою очередь, линейно выразится через генераторы). В том числе и матричные произведения генераторов можно будет так представить.

В общем случае можно делать так же: посмотреть на матричную алгебру и расширить её, чтобы матричные произведения все туда попали. Но не факт, что будет достаточно добавить какую-то одну матрицу (и тем более не факт, что достаточно добавить единичную). Я думаю, что легко подобрать пример, чтобы одной не хватало, но пока не подобрал.

-- 25.01.2018, 12:22 --

$so(3)_\mathbb C$ вроде пойдёт, проверьте, если интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по разложению генераторов группы Ли...
Сообщение25.01.2018, 19:05 


16/03/07
825
Slav-27 в сообщении #1287254 писал(а):
VladTK в сообщении #1287235 писал(а):
для произведений генераторов группы
А что это такое? Если у вас была просто какая-то абстрактная группа Ли, то в её алгебре Ли изначально нет никакого "произведения", кроме коммутатора (вернее, коммутатор -- это и есть произведение этой алгебры, и он, изначально, не представлен в виде разности чего-то там). То есть тут надо сказать либо "группа Ли была матричная -- то есть подгруппа $GL(n,\mathbb R)$", либо "я знаю теорему Адо". Но даже если алгебра Ли матричная, это не означает, что произведение (обычное матричное, а не коммутатор) тоже попадёт в алгебру. Вот коммутатор попадёт обязательно.

VladTK в сообщении #1287235 писал(а):
$$[T^a, T^b]=T^a T^b-T^b T^a=i f_{abc} T^c$$
Дальше. Группа Ли, изначально -- вещественное векторное пространство, и поэтому прежде чем умножать что-то на $i$, надо тоже говорить какие-то слова: "рассматриваем не саму алгебру, а её комплексификацию". Физики обычно сразу всё комплексифицируют и генераторы выбирают эрмитовыми (домножая "истинные" генераторы на $i$: алгебра $su(n)$ состоит из косоэрмитовых матриц).

Комплексифицируя алгебру $su(n)$, мы получаем комплексную алгебру Ли $su(n)_\mathbb C$, изоморфную алгебре комплексных $n\times n$ матриц с нулевым следом (с обычным сложением и коммутатором $[a,b]=ab-ba$). Комплексная размерность всего векторного пространства $n\times n$ матриц есть $n^2$, условие нулевого следа понижает её на $1$, и поэтому если мы добавим туда ещё единичную матрицу, которая там не лежит, то увеличим размерность на $1$ и тем самым получим всё пространство $n\times n$ матриц. В таком случае, конечно, любую матрицу можно будет представить в виде линейной комбинации единичной матрицы и элемента из нашей алгебры (который, в свою очередь, линейно выразится через генераторы). В том числе и матричные произведения генераторов можно будет так представить.

В общем случае можно делать так же: посмотреть на матричную алгебру и расширить её, чтобы матричные произведения все туда попали. Но не факт, что будет достаточно добавить какую-то одну матрицу (и тем более не факт, что достаточно добавить единичную). Я думаю, что легко подобрать пример, чтобы одной не хватало, но пока не подобрал.

-- 25.01.2018, 12:22 --

$so(3)_\mathbb C$ вроде пойдёт, проверьте, если интересно.


Вы видите меня насквозь :D

Да, под группой я подразумевал матричную группу. Проверил на алгебрах $so(3)_\mathbb C$ и $so(3)_\mathbb R$ - разложить произведения генераторов по генераторам нельзя. В общем, получается что ответ на мой вопрос отрицателен. Кроме групп $SU(n)$, по-видимому, другие неабелевы группы не допускают разложения произведений генераторов по самим генераторам. Жаль...

Большое спасибо за ответы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по разложению генераторов группы Ли...
Сообщение25.01.2018, 20:43 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
VladTK в сообщении #1287374 писал(а):
Кроме групп $SU(n)$, по-видимому, другие неабелевы группы не допускают разложения произведений генераторов по самим генераторам.
Даже $SU(n)$ не допускают, потому что единичная матрица не лежит в $su(n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по разложению генераторов группы Ли...
Сообщение26.01.2018, 07:16 


16/03/07
825
Slav-27 в сообщении #1287422 писал(а):
VladTK в сообщении #1287374 писал(а):
Кроме групп $SU(n)$, по-видимому, другие неабелевы группы не допускают разложения произведений генераторов по самим генераторам.
Даже $SU(n)$ не допускают, потому что единичная матрица не лежит в $su(n)$.


Вы правы. Я просто неверно сформулировал свой вопрос и потому получил малополезные для меня ответы.

Собственно, мне требуется построить такую систему операторов $\hat{A}^{a}$ ($a$ здесь нумерующий индекс от 0 до $N_a$ - числа таких операторов и $\hat{A}_0=\hat{I}$) из генераторов группы, что она позволяла бы разложить произведения операторов с генераторами по самим операторам
$$ \hat{A}^{a} T^{b}=\sum \limits^{N_a}_{c=0} h_{abc} \hat{A}^{c}$$
$$ T^{b} \hat{A}^{a}=\sum \limits^{N_a}_{c=0} g_{bac} \hat{A}^{c}$$
где $h_{abc},g_{abc}$ - некоторые константы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по разложению генераторов группы Ли...
Сообщение26.01.2018, 07:56 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Ну хорошая новость -- так всегда можно сделать. Например взять генераторы и дополнить их до базиса всего пространства матриц, или даже не всего пространства, а только обёртывающей алгебры, то есть алгебры, порождённой генераторами и всевозможными матричными произведениями.

А вам точно это надо? А то если это физика, можно у физиков попробовать что-нибудь спросить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по разложению генераторов группы Ли...
Сообщение26.01.2018, 08:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Если речь о произвольном $T$, то, боюсь, именно придется до всего пространства дополнять.
$x_a \hat{A}^{a}$ будет при таких условиях двусторонним идеалом, а в кольце матриц нет нетривиальных двусторонних идеалов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по разложению генераторов группы Ли...
Сообщение27.01.2018, 08:48 


16/03/07
825
Slav-27 в сообщении #1287515 писал(а):
Ну хорошая новость -- так всегда можно сделать. Например взять генераторы и дополнить их до базиса всего пространства матриц, или даже не всего пространства, а только обёртывающей алгебры, то есть алгебры, порождённой генераторами и всевозможными матричными произведениями...


А что-нить конструктивное есть? Т.е. есть ли некий алгоритм дополнения алгебры генераторов до базиса всех матриц? Скажем, какие операторы нужно добавить для группы $SO(n)$?

Slav-27 в сообщении #1287515 писал(а):
...А вам точно это надо? А то если это физика, можно у физиков попробовать что-нибудь спросить.


Это физика. И мне это надо - это один из необходимых этапов решения моей задачи.

пианист в сообщении #1287517 писал(а):
Если речь о произвольном $T$, то, боюсь, именно придется до всего пространства дополнять.
$x_a \hat{A}^{a}$ будет при таких условиях двусторонним идеалом, а в кольце матриц нет нетривиальных двусторонних идеалов.


Необязательно двусторонний идеал. Генераторы группы составляют только подмножество $\hat{A}_a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по разложению генераторов группы Ли...
Сообщение27.01.2018, 11:22 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
VladTK в сообщении #1287724 писал(а):
Т.е. есть ли некий алгоритм дополнения алгебры генераторов до базиса всех матриц?
Конечно есть. Ваш вопрос: у меня есть базис линейного подпространства, есть ли алгоритм, позволяющий дополнить до базиса всего пространства? Ну например запишите компоненты базисных векторов в матрицу $A$ и решите уравнение $Ax=0$; стандартный алгоритм линейной алгебры даст вам базис ортогонального дополнения.
VladTK в сообщении #1287724 писал(а):
Скажем, какие операторы нужно добавить для группы $SO(n)$?
Там вообще всё просто: базис $n\times n$ матриц составляют матричные единицы $E_{ij}$ (это у которых все элементы нули, кроме $ij$, который $1$). Базис $so(n)$ составляют разности $E_{ij}-E_{ji}$ ($i<j$). Очевидно, как можно дополнить...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: tolstopuz, Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group