ортогональность в гильбертовом пространстве

[Brukvalub]

Линейные оболочки совпадают со всевозможными линейными подпространствами Гильбертова пространства, поэтому Вам достаточно ответить на вопрос: "Всегда ли линейное подпространство Гильбертова пространства замкнуто?"

[Spook]

ewert подможеств этого линейного пространства или вообще?

Добавлено спустя 1 минуту 4 секунды:

а если подмножество является подпространством?

Добавлено спустя 1 минуту:

Brukvalub а это разве не по определению?

[Brukvalub]

Spook писал(а):

Brukvalub а это разве не по определению?

Что "по определению"?

[Spook]

Подпространство замкнуто...

[Brukvalub]

Spook писал(а):

Подпространство замкнуто...

Я привык к такой терминологии: подмножества Гильбертова пространства, содержащие в себе все конечные линейные комбинации своих элементов называются его линейными подпространствами, если топологическое замыкание линейного подпространства совпадает с ним самим, то такое подпр-во наз. замкнутым.

[Spook]

Brukvalub а что значит топологическое замыкание? Если это присоединение предельных точек (пополнение) то так и получается.

[Brukvalub]

Spook писал(а):

Brukvalub а что значит топологическое замыкание?

Пересечение всех замкнутых множеств, содержащих данное множество.

[Spook]

Brukvalub извиняюсь за возможно глупый вопрос, но это пересечение не равно просто замыканию подпространства?

[Narn]

Brukvalub писал(а):

Я привык к такой терминологии: подмножества Гильбертова пространства, содержащие в себе все конечные линейные комбинации своих элементов называются его линейными подпространствами, если топологическое замыкание линейного подпространства совпадает с ним самим, то такое подпр-во наз. замкнутым.

Это я Spook'у голову заморочил - сказал, что, говоря о подпространствах, имеют в виду замкнутые подпространства. Это так в книгах: Колмогорова-Фомина, Садовничего, Березанского-Уса-Шефтеля, (кажется) Кириллова-Гвишиани (для незамкнутых подпространств употребляется термин "линейное многообразие"). А вот у Рудина и Эдвардса, например, не так . Прошу прощения, Spook, я Вам о привычках моего университета говорил. В общем, всегда лучше добавлять "подпространство, не обязательно замкнутое", или "замкнутое подпространство", тогда точно поймут.

[ewert]

дело вкуса, конечно, но в бесконечномерных случаях термин "подпространство" принято употреблять только для замкнутых множеств. В противном случае говорят просто "линейное".

Впрочем, я лично на всякий случай тоже предпочитаю дублировать.

[Spook]

Narn да я сам виноват, что так невнимателен. У нас термин вводился только для подпространства банахова пространства (более общие мы мало рассматривали) и говорили что это линейное замкнутое подмножество. Теперь буду занть, что вообще это так не для всех пространств.

Brukvalub тогда интересно узнать ответ на Ваш вопрос

Brukvalub писал(а):

"Всегда ли линейное подпространство Гильбертова пространства замкнуто?"

Я думаю, в силу полноты гильбертова пространства, это так. Поправте пожалуйста, если нет. И еще, как я понял замкнутость актуальна только для подпространств?

ewert писал(а):

1). Линейная оболочка изначально линейного множества совпадает с ним самим. С вытекающими отсюда последствиями относительно замкнутости.

2). Линейные оболочки других подмножеств не обязаны быть замкнутыми. В частности, они не замкнуты для счётного набора независимых элементов. (Специально для Brukvalub'а: ладно, как правило)

У Вас приставка "под" в слове "подмножество" означает только включение? То есть замкнутость не предполагается?

Теперь можно вернуться к изначальной проблеме
Narn я понял, что замкнутое подпространство и его дополнение не составляют всего пространства, то есть мое доказательство провалилось. Вот, что пока надумал $\forall x\in M, \forall y\in M^{\bot}, \forall z\in (M^{\bot})^{\bot}$ имеем $(x,y)=0, (y,z)=0$. В силу того, что третьего, ортогонального двум предудущи множествам не существует(по теореме о проекции их два) делаем вывод, что $x,z\in M$. Дальше надо что-то в чего-то включить,но пока не знаю как.
(кстати, про ЗД, я чего-то сразу и не понял )
MGM Ваш пример я осознал наконец-таки, но мой тоже верен:

Spook писал(а):

если у нас множество не замкнуто, но всюду плотно в $M$, то оно точно должно этому удовлетворять, получается как $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

Все еще никак не доказал утверждение про линейную оболочку.

ewert писал(а):

не могу пока, т.е. не могу сосредоточиться. У меня ведь завтра тоже экзамен. И уже давно пора печатать билеты.

ewert ну теперь поясните, пожалуйста, ну или подскажите

[Narn]

Spook писал(а):

Теперь можно вернуться к изначальной проблеме
Вот, что пока надумал $\forall x\in M, \forall y\in M^{\bot}, \forall z\in (M^{\bot})^{\bot}$ имеем $(x,y)=0, (y,z)=0$.
<...>

Дальше надо что-то в чего-то включить,но пока не знаю как.

Не включить, а исключить. Зачеркните то, что относится к $z$ и посмотрите на оставшееся. Вообще, зачем брать $z\in (M^{\bot})^{\bot}$, если Вы доказываете, что $M$ - подмножество $(M^{\bot})^{\bot}$. Ну, взяли Вы произвольный $z$ - а дальше что? Он то ли в $M$, то ли не в $M$. Примеры ведь показывают, что включение может быть строгим. Нужно брать $x \in M$ и доказывать, что $x \in (M^{\bot})^{\bot}$ по определению этого множества.

[Brukvalub]

Spook писал(а):

Я думаю, в силу полноты гильбертова пространства, это так. Поправте пожалуйста, если нет.

В той терминологии, которую сообщил Вам я, понятия линейного подпространства и замкнутного подпространства различаются. Как Вы думаете, это сделано по недомыслию, или намеренно?

[Spook]

Narn из того что $(x,y)=0$ следует что $x\in M$ либо $x\in M^{\bot}^{\bot}$. Дальше пользоваться теоремой о проекции? Что-то никак не пойму, но чувствую что я где-то рядом.

Brukvalub я думаю, что это означает, что в гильбертовом пространстве существуют незамунутые подпространства, поэтому прошу снять мой предыдущий к Вам вопрос. Приведите, пожалуйста, пример такого подпространства, если можно, сам просто не могу это представить.

[Narn]

Spook писал(а):

Narn из того что $(x,y)=0$ следует что $x\in M$ либо $x\in M^{\bot}^{\bot}$. Дальше пользоваться теоремой о проекции? Что-то никак не пойму, но чувствую что я где-то рядом.

Если Вы о доказательстве включения, то Вы не где-то рядом - Вы уже там. Ну посмотрите, что написано: $x$ из $M$ ортогонален всем элементам из $M^{\bot}$.

А теоремой о проекции нужно воспользоваться, чтобы доказать, что $(M^{\bot})^{\bot}$ есть замыкание линейной оболочки $M$. Нужно будет еще доказать, что ортогональное дополнение к $M$ и к замыканию линейной оболочки $M$ совпадают.