2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение12.12.2017, 23:22 


06/02/14
186
Someone писал(а):
Ладно, мы уже поняли, что Вы гений.


Весьма сомнительный комплимент,учитывая вышесказанное .Поэтому предпочитаю вернуть его Вам.

И так,в своей теореме Ферма утверждает,что невозможно разложить куб на два куба без остатка.Будь то соседние кубы или не соседние - всегда будут в разложении любого куба присутствовать два куба и третье число - остаток,которое и вызвало у уважаемого Someone неподдельное изумление.Этот остаток должен быть всегда меньше единичного приращения младшего куба в разложении, иначе раложение будет не закончено.Поэтому для разложения куба на два любых куба(не только соседних) можно дать такое определение:"куб любого натурального числа будет разложен на два куба когда разность раскладываемого куба и суммы двух получающихся кубов будет меньше единичного приращения младшего куба в полученном разложении"
Чем интересно разложение куба нечетного числа на соседние кубы?Целое нечётное число нельзя разложить на сумму двух одинаковых целых чисел:всегда только на соседние.Куб же некоторых целых нечётных чисел ,согласно этому определению можно разложить на сумму двух кубов одного и того же целого числа плюс остаток,который отвечает за сохранение чётности и меньше единичного приращения куба в разложении.Это и подтверждается реальным разложением приведённым во второй таблице.
Значит у кубов этих чисел нет разложения на соседние кубы и их мы можем спокойно вычеркнуть из числа "подозреваемых".

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение13.12.2017, 00:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
PhisicBGA в сообщении #1274480 писал(а):
Куб же некоторых целых нечётных чисел ,согласно этому определению можно разложить на сумму двух кубов одного и того же целого числа плюс остаток,который отвечает за сохранение чётности и меньше единичного приращения куба в разложении

По-русски это будет $\forall a \exists b, c: a^3 = 2b^3 + c \wedge (b+1)^3 - b^3 > c$?
Это экивалентно тому, что на интервале $\left(\frac{a}{\sqrt[3]{3}}; \frac{a}{\sqrt[3]{2}}\right)$ есть целое число - его существование для всех достаточно больших $a$ несложно доказывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение13.12.2017, 00:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
PhisicBGA в сообщении #1274480 писал(а):
И так,в своей теореме Ферма утверждает,что невозможно разложить куб на два куба без остатка.Будь то соседние кубы или не соседние - всегда будут в разложении любого куба присутствовать два куба и третье число - остаток,которое и вызвало у уважаемого Someone неподдельное изумление.
Не изумление, а недоумение. Что кто-то может столь глубокомысленно и с важным видом писать на форуме о таких пустяках, из которых ровным счётом ничего не следует. При этом в течение немногих дней несколько раз меняет правила и, видимо, никак не поймёт сам, что же он хочет сказать. Вы и сейчас определение "разложения на соседние кубы" сформулировали не полностью, потому что у Вас не три слагаемых, а четыре, причём, четвёртое отрицательное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение13.12.2017, 01:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
PhisicBGA в сообщении #1274480 писал(а):
будет меньше единичного приращения младшего куба в полученном разложении

Что такое "единичное приращение куба"?
Ну и насчет "любого" вы преувеличиваете все-таки... у вас самого пробелы в примерах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение13.12.2017, 19:26 


21/11/10
546
Someone в сообщении #1274497 писал(а):
потому что у Вас не три слагаемых, а четыре, причём, четвёртое отрицательное.


Уважаемый PhisicBGA!
Как изменится Ваша таблица, если четвёртое слагаемое, а это у Вас применительно к ВТФ3 $x+y-z$ будет положительным.
У Вас уже много наработок в этом направлении и почему бы не дополнить их таким рассмотрением.
Для ВТФ3 гуманитариев и наверное для всех остальных это было бы интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение14.12.2017, 19:14 


06/02/14
186
mihaild писал(а):
По-русски это будет $\forall a \exists b, c: a^3 = 2b^3 + c \wedge (b+1)^3 - b^3 > c ?$


Именно так.И определение разложения куба натурального числа на сумму двух кубов "по-русски"будет выглядеть так:$$\forall a \exists b < c , d : a^3 = b^3 + c ^3 +d\wedge (b+1)^3 - b^3 > d   $$

provincialka писал(а):
Что такое "единичное приращение куба"?
Ну и насчет "любого" вы преувеличиваете все-таки... у вас самого пробелы в примерах.


В определении,которое теперь написано "по-русски","единичное приращение куба"- это член $(b+1)^3 - b^3 = 3(b)(b+1)+1 = 6<b>+1 $.
В своем сообщении о разложении куба нечётного числа на сумму двух соседних кубов я с начала привёл разложения всех кубов по признаку "сумма соседних кубов": у всех кубов в разложении стоят соседние кубы.Затем,применил к разложениям сформулированное выше определение. Получилось,что у некоторых кубов,разложение не законченное:полученный остаток больше единичного приращения (т.е. разности соседних кубов) наименьшего в разложении куба.Оказывается,их конечное разложение - разложение на два одинаковых куба и,конечно же,так как они не чётные, они не могут не иметь остаток,который будет "выравнивать" четность в разложении.
Следовательно, в таком разложении кубы этих чисел подтверждают теорему Ферма.Но остаются выделенные разложения,где и кубы-соседние,и остаток- меньше единичного приращения меньшего куба. Можно ли по каким то закономерностям в них,по тому как они расположены в таблице узнать,почему они обязательно с остатком?
Что касается остатка в разложениях,то он всегда $d$.Но в таком виде,для наших целей,как я уже говорил, он мало информативен.В нашем праве представить его так,как нам удобно-хоть суммой,хоть разностью,лишь бы это было в конечном счёте всегда $d$.Что бы было удобно определять остаток по отношению к единичному приращению,его необходимо представить числом кратным $6$ плюс или минус число "добивающее" это число до величины остатка.В процессе работы с разложениями кубов я заметил интересную особенность:остаток всегда можно представить числом кратным $6$ минус число равное $a - (b +c)$Повторяю - у всех разложений. Что это - случайность или закономерность?Похоже,всё таки,это закономерность,звучащая так:"В разложении любого куба нечетного числа на два куба, получающийся остаток всегда можно представить, как разность числа кратного шести и числа равного разности оснований раскладываемого куба и кубов получаемых при разложении "

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение14.12.2017, 23:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
PhisicBGA в сообщении #1274892 писал(а):
Следовательно, в таком разложении кубы этих чисел подтверждают теорему Ферма.
Собственно, в математике нет такого понятия — подтверждение теоремы. Теорема либо доказана, либо нет. Миллиард миллиардов примеров ничего не доказывают, если они не исчерпывают абсолютно всех возможностей, а в натуральном ряде чисел немножко побольше, чем миллиард миллиардов.

PhisicBGA в сообщении #1274892 писал(а):
остаток всегда можно представить числом кратным $6$ минус число равное $a - (b +c)$Повторяю - у всех разложений. Что это - случайность или закономерность?
Ну, это совершенно элементарная закономерность. Поскольку для любого целого числа $k$ разность $k^3-k=(k-1)k(k+1)$ делится на $6$, то для любых целых чисел $a$, $b$, $c$ разность $(a^3-b^3-c^3)-(a-b-c)=(a^3-a)-(b^3-b)-(c^3-c)$ тоже делится на $6$. Отсюда и получается ваше $a^3=b^3+c^3+6h-(b+c-a)$. Причём, именно так, а не как Вы написали:
PhisicBGA в сообщении #1274892 писал(а):
минус число равное $a - (b +c)$
Посмотрите свои же примеры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение15.12.2017, 19:46 


21/11/10
546
PhisicBGA в сообщении #1274892 писал(а):
определение разложения куба натурального числа на сумму двух кубов "по-русски"

Уважаемый PhisicBGA!

Если перевести с "русского" на язык уравнений, то Ваше рассмотрение будет выглядеть как-то так:

$x^3+y^3+z^3=x+y+z+6N$

Где $x,y,z,N$-целые числа

О чём Вам упоминал уважаемый Someone

Прочтите, не пожалеете, интересную заметку в Mathpages

http://www.mathpages.com/home/kmath230.htm

Там рассматривается немного другое уравнение, назовём его Малым Уравнением Ферма:
$x^3+y^3+z^3=x+y+z$
Это уравнение, как и Ваше, имеет бесконечное множество решений.
Ваше уравнение можно назвать Малым Уравнением Ферма по модулю 6.
Но, причем здесь обычное уравнение Ферма $x^3+y^3+z^3=0$
Очевидно, что эти уравнения имеют различные решения,не только в целых, но и в любых других числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение16.12.2017, 11:04 


21/11/10
546
ishhan в сообщении #1275148 писал(а):
Очевидно, что эти уравнения имеют различные решения,не только в целых, но и в любых других числах.

Хотел сказать, что существование бесконечного множества решений в целых числах уравнения $x^3+y^3+z^3=x+y+z+6N$ не является запретом на существование решений в целых числах уравнения $x^3+y^3+z^3=0$
Как- то так, но если Вам, уважаемый PhisicBGA, удастся доказать обратное, то снимаю и съедаю свою шляпу :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение16.12.2017, 11:28 


06/02/14
186
ishhan писал(а):
Ваше уравнение можно назвать Малым Уравнением Ферма по модулю 6.
Но, причем здесь обычное уравнение Ферма $x^3+y^3+z^3=0$


Ох,уж эти математики!Всё время убегают от интересной физической реальности к своим формулам и требуют свести эту реальность к милой их сердцу формуле.Ну,ладно...Помните,великое правило математики,которому научила меня уважаемая Shwedka :там , где ничего нет- может быть всё что угодно.Посмотрите на уравнение Ферма - справа у него ни чего нет.Поэтому я могу написать,что угодно.Например,так: $$(x^3-x)+(y^3-y)+(z^3-z)=x+y+z$$
Получилось моё уравнение т.е.уравнение BGA для случая,когда остаток в разложении куба,равен 0. А это уравнение имеет решение в целых числах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение16.12.2017, 11:50 


21/11/10
546
PhisicBGA в сообщении #1275350 писал(а):
Получилось моё уравнение т.е.уравнение BGA для случая,когда остаток в разложении куба,равен 0

У Вас вырисовывается уравнение в целых числах: $x^3+y^3+z^3= k(x+y+z)$
где k целое, но не ноль

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение16.12.2017, 12:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция

(Оффтоп)

PhisicBGA в сообщении #1275350 писал(а):
.Помните,великое правило математики,которому научила меня уважаемая Shwedka :там , где ничего нет- может быть всё что угодно.

Не припомню за собой такого. Укажите точную цитату с адресом цитирования, плииз

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение16.12.2017, 12:29 


06/02/14
186
ishhan писал(а):
У Вас вырисовывается уравнение в целых числах: $x^3+y^3+z^3= k(x+y+z)$
где k целое, но не ноль


Но,Вы же,дали уравнение Ферма в общем,алгебраическом виде.Вот и мое уравнение-в алгебраическом виде.В обычном виде оно будет таким: $$(a^3-a)-(b^3-b)-(c^3-c)=b+c-a$$Вопрос - прежний:имеет ли это уравнение решение в целых числах?

-- 16.12.2017, 12:47 --

(Оффтоп)

Слова,конечно, не Ваши,а "народные".Но Вы их суть замечательно продемонстрировали мне вот здесь:
не самый общий случай рассмотрен.
Цитата:
Равенство возможно только когда
$$ 3n= k(a^2 - 3n) $$
$$ 4a = k(2n +1) $$ где $k$-целое число
.
Утверждение не доказано в части 'только'.


Жду доказательства,
что невозможно

$$ 3nm= k(a^2 - 3n) $$
$$ 4a m= k(2n +1) $$ где $k,m$-целые числа..

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение16.12.2017, 12:52 


21/11/10
546
PhisicBGA в сообщении #1275365 писал(а):
Но,Вы же,дали уравнение Ферма в общем,алгебраическом виде.Вот и мое уравнение-в алгебраическом виде.В обычном виде оно будет таким: $$(a^3-a)-(b^3-b)-(c^3-c)=b+c-a$$

Потрудитесь привести подобные члены, а то ересью попахивает)
Вы, наверное, хотели сказать:$ x^3+y^3+z^3=2(x+y+z)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение19.12.2017, 00:54 


06/02/14
186
ishhan писал(а):
Потрудитесь привести подобные члены, а то ересью попахивает)
Вы, наверное, хотели сказать:$ x^3+y^3+z^3=2(x+y+z)$


Я сказал то,что хотел сказать. Уравнение BGA - разложение куба нечётного числа на два куба, в общем случае, имеет следующий вид (сохраним обозначения уважаемого Someone ): $$a^3=b^3+c^3+6h-(b+c-a)$$ Согласно этому уравнению происходят и все разложения в данных мною здесь таблицах. Из этого уравнения следует, что случай,когда в разложении куба будет только два куба, будет иметь место,когда будет выполняться равенство$$6h = (b+c-a)     \eqno (1)$$Отсюда и приведённая мною формула для этого частного случая: $$(a^3-a)-(b^3-b)-(c^3-c)=b+c-a$$
Очевидно,что равенство $(1)$ накладывает условие для возникновения этого случая:разность оснований раскладываемого куба и кубов его разложения должна быть кратна $6$.Согласно этому критерию,число "подозрительных" разложений на соседние кубы в таблице №2 останется совсем небольшим:



$  \boxed { 11^3 =  (2\cdot 5+1)^3  =  9^3 +   8^3 +6\cdot 16 - 6 }$

$$ \boxed {  21^3 =  (2\cdot 10+1)^3=  17^3 +    16^3 + 6\cdot 44 - 12}   $$

$ \boxed {  31^3 =  (2\cdot 15+1)^3  =  25^3 +   24^3 + 6\cdot 60 - 18 } $

$$ \boxed {  41^3 =  (2\cdot 20+1)^3  =  33^3 + 32^3 + 6 \cdot 40-24  }  $$


Похоже,что добропорядочные кубы,тоже из за боязни быть обличёнными в ереси,совсем отказались от разложения на два куба.Но как они это сделали? Вопрос...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 75 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group