2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Экстремумы xyz
Сообщение11.12.2017, 07:03 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Найдите максимум и минимум значения $xyz$ при условиях $x+y+z=1$ и $x^2+y^2+z^2=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремумы xyz
Сообщение11.12.2017, 08:25 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
maxal
Никогда в олимпиадных по математике себя не пробовал, но попытаюсь. Метод лагранжа даёт
$$\[\left\{ \begin{array}{l}
yz - {\lambda _1} - 2{\lambda _2}x = 0\\
xz - {\lambda _1} - 2{\lambda _2}y = 0\\
xy - {\lambda _1} - 2{\lambda _2}z = 0\\
x + y + z - 1 = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} - 1 = 0
\end{array} \right.\]$$
Из двух последних уравнений получаем пару решений $y = \frac{1}{2}(1 - x \pm \sqrt {1 + (2 - 3x)x} )$ и $z = \frac{1}{2}(1 - x \mp \sqrt {1 + (2 - 3x)x} )$
Далее из первого уравнения, пользуясь тем, что $yz = x(x - 1)$, находим ${\lambda _1} = x(x - 2{\lambda _2} - 1)$, из второго ${\lambda _2} = \frac{1}{4}(x \pm \sqrt {1 + (2 - 3x)x}  - 1)$.
Теперь при верхнем выборе знаков третье уравнение приводится к виду ${(3x - 1)^2}[1 + (2 - 3x)x] = {[1 + (2 - 3x)x]^2}$ (после возведение в квадрат).
Из $1 + (2 - 3x)x = 0$ имеем корнями $x = 1$ и $x =  - \frac{1}{3}$, оставшееся $x(3x - 2) = 0$ даёт $x = 0$ ($x = \frac{2}{3}$ - лишний корень при данном выборе знаков).
При другом выборе знаков получаем такое же уравнение ${(3x - 1)^2}[1 + (2 - 3x)x] = {[1 + (2 - 3x)x]^2}$, но в данном случае лишним оказывается $x = 0$, а $x =  - \frac{1}{3}$ и $x = \frac{2}{3}$ корни.
Как итог, получаем решения отвечающие минимуму
$$(x,y,z,{\lambda _1},{\lambda _2}) \to ( - \frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{9}, - \frac{1}{3});(\frac{2}{3}, - \frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{9}, - \frac{1}{3});(\frac{2}{3},\frac{2}{3}, - \frac{1}{3},\frac{2}{9}, - \frac{1}{3});$$
и максимуму
$$(x,y,z,{\lambda _1},{\lambda _2}) \to (1,0,0,0,0);(0,1,0,0,0);(0,0,1,0,0);$$
Т.е. минимумум есть $$xyz =  - \frac{4}{{27}}$$ а максимум $$xyz = 0$$
P.S.Камнями прошу не кидать, я конечно же подозреваю, что здесь есть красивое решение через какие-нибудь неравенства между средними

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремумы xyz
Сообщение11.12.2017, 08:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Ms-dos4
Если рассмотреть Ваши начальные уравнения, и взять их разности, то легко получить либо $x=y$, либо $z=-2\lambda_2$ и т.д., откуда вытекает, что две координаты равны. Тогда мы немедленно их находим.

Таких задачек с симметриями много.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремумы xyz
Сообщение11.12.2017, 09:02 


30/03/08
196
St.Peterburg
maxal в сообщении #1273884 писал(а):
Найдите максимум и минимум значения $xyz$ при условиях $x+y+z=1$ и $x^2+y^2+z^2=1$.


$$x_1+x_2+x_3=p\ , \ q= x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=0=\dfrac{1-t^2}{3}\ , \ r=x_1x_2x_3$$
$$f (x)=x^3-x^2+\dfrac {1-t^2}{3}x-r$$
$$f'(x)=3x^2-2x+\dfrac {1-t^2}{3}\ ,\  x1=\dfrac {1+t}{3}\ ,\  x2=\dfrac {1-t}{3}$$
$$f (x2)=\dfrac {(1-t)^2 (1+2t)}{27}-r \ge 0 \ , \ f (x1)=\dfrac {(1+t)^2 (1-2t)}{27}-r \le 0$$

$$\dfrac {(1+t)^2 (1-2t)}{27} \le r \le \dfrac{(1-t)^2 (1+2t)}{27}$$

$$-\dfrac {4}{27} \le r \le 0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремумы xyz
Сообщение11.12.2017, 09:06 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Кстати, максимум находится вообще без счета. Поскольку у нас плоскость с нормалью (i,j,k) вырезает из единичной сферы единичную окружность, у которой ни одна точка не попадает в первый квадрант. А все точки, кроме тех, которые на осях, имеют по одной отрицательной и двум положительным координатам. То есть максимумы и будут в этих трех точках. Ну и из симметрии можно догадаться, что три точки с минимумами имеют координаты типа 2/3, 2/3, -1/3

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремумы xyz
Сообщение11.12.2017, 09:23 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Red_Herring

(Оффтоп)

вот нельзя считать только проснувшись :D . Действительно, такое обязательно нужно видеть, спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремумы xyz
Сообщение11.12.2017, 09:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
А разве эта задачка олимпиадная? Обычная задачка из Демидовича, я ее на занятиях даю (в тех потоках, где часов на матан побольше).

Например, рассматриваем первые три уравнения как систему с двумя неизвестными $\lambda_1, \lambda_2$, ее определитель должен быть равен 0. Впрочем, идея
Red_Herring в сообщении #1273905 писал(а):
рассмотреть Ваши начальные уравнения, и взять их разности,
приводит ровно к тому же, разве что не сразу исключаются $\lambda$

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремумы xyz
Сообщение11.12.2017, 21:45 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Пусть $x+y+z=3u$, $xy+xz+yz=3v^2$ и $xyz=w^3$.
Тогда $u=\frac{1}{3}$, $v^2=0$ и $(x-y)^2(x-z)^2(y-z)^2\geq0$ даёт
$$3u^2v^4-4v^6-4u^3w^3+6uv^2w^3-w^6\geq0$$ или
$$\frac{4}{27}w^3+w^6\leq0$$ или
$$-\frac{4}{27}\leq xyz\leq0.$$
Равенство в обоих случаях, очевидно, достигается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремумы xyz
Сообщение11.12.2017, 22:15 


11/07/16
801
arqady
Нескромный вопрос: почему вы считаете, что $xy+xz+yz \ge 0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремумы xyz
Сообщение11.12.2017, 22:30 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Markiyan Hirnyk
Может, потому что равно нулю.
При наших ограничениях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремумы xyz
Сообщение12.12.2017, 00:18 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
provincialka
Есть стандартные методы, которые проходят в ВУЗах.
И, конечно, на уровне ВУЗов такие задачки никто олимпиадными не называет.
Но иногда их удается решить вполне "школьными" методами. Но с некоторой долей изобретательности, как только что было продемонстрировано двумя участниками.
Я бы еще предложил третий чисто геометрический. Но пока он мне не совсем до конца понятен.
Очевидно, что точки лежат на окружности, которая пересекает оси координат в точках на расстоянии 1 от центра координат. Очевидно, что функция $xyz$ только в этих точках имеет значение 0, а в остальных отрицателна ( две координаты положительные, одна отрицательная). И в силу симметрии три точки $(2/3,2/3,-1/3)$ с круговой перестановкой являются экстремумами нашей функции. Если бы удалось простенько доказать, что они являются минимумами, а других экстремумов на этой окружности нет, то такое решение вполне можно назвать олимпиадным школьным. Интересно, можно ли искодя из общих соображений доказать, что у функции $xyz$ не более шести локальных экстремумов на этой окружности? Тогда бы это сразу решило задачу.

-- 11.12.2017, 13:24 --

Мы даже общими усилиями соорудили ветку в олимпиадном разделе физиков, специально посвященную решению такого сорта олимпиадных задач.
topic123146.html
Пока что решаем задачки из теормеха школьными методами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремумы xyz
Сообщение12.12.2017, 12:39 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Markiyan Hirnyk в сообщении #1274128 писал(а):
arqady
Нескромный вопрос: почему вы считаете, что $xy+xz+yz \ge 0$?

We can think that $v^2<0$ and we have no any problems here. Just think about $v^2$ only and don't think obout $v$. If your question is why I took $v^2$ and not $v$, so the answer is: for possibility of homogenization.

By the way, in our case $v^2=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремумы xyz
Сообщение12.12.2017, 12:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
fred1996 в сообщении #1274180 писал(а):
Есть стандартные методы, которые проходят в ВУЗах.
Собственно, я говорила только о решении Ms-dos4, как там с системой можно "разобраться".
fred1996 в сообщении #1274180 писал(а):
Но иногда их удается решить вполне "школьными" методами.
Otta в сообщении #1274136 писал(а):
Может, потому что равно нулю.
arqady в сообщении #1274320 писал(а):
By the way, in our case $v^2=0$.

И действительно, $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) = 1$, так что $xy+yz+zx = 0$. Значит, $xyz=x(-zx-xy)=-x^2(y+z) =-x^2(1-x)=x^3-x^2$.
Ну, а исследование функции 1 переменой -- это уже школьный метод. Надо только ещё указать ограничения на $x$.
Только это решение некрасивое... нет той самой однородности...

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремумы xyz
Сообщение13.12.2017, 01:34 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
provincialka писал(а):
И действительно, $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) = 1$, так что $xy+yz+zx = 0$. Значит, $xyz=x(-zx-xy)=-x^2(y+z) =-x^2(1-x)=x^3-x^2$.
Ну, а исследование функции 1 переменой -- это уже школьный метод. Надо только ещё указать ограничения на $x$.
Только это решение некрасивое... нет той самой однородности...


интересно, о какой однородности вы говорите?
На мой взгляд решение даже очень красивое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремумы xyz
Сообщение16.12.2017, 11:46 


02/11/08
1187
Ну и как вариант к одномерному случаю все свести можно. Симметрия дает сразу параметрическое решение для линии пересечения плоскости и сферы (одинаковые выражения для координат с фазовым сдвигом).
https://www.wolframalpha.com/input/?i=parametric+plot+x(t)%3D2%2F3*cos(t)%2B1%2F3,+y(t)%3D2%2F3*cos(t%2B2Pi%2F3)%2B1%2F3,+z(t)%3D2%2F3*cos(t%2B4Pi%2F3)%2B1%2F3,
https://www.wolframalpha.com/input/?i=min+(1%2F3%2B2%2F3*cos(t))*(1%2F3%2B2%2F3*cos(t%2B2Pi%2F3))+*(1%2F3%2B2%2F3*cos(t%2B4Pi%2F3))

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gevin Magnus


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group