Первые интегралы

[Nickspa]

Найти все не зависящие от времени непрерывные на всей фазовой плоскости первые интегралы системы $\dot{x}=y, \dot{y}=x+y$.
Знаю, что первый интеграл - это функция, производная Ли которой по данному векторному полю равна 0. Наше векторное поле такое: $ydx+(x+y)dy$. Но как найти такие функции. Также решается эта система легко. Но как мне может помочь решение?

[Red_Herring]

Nickspa в сообщении #1274801 писал(а):

Также решается эта система легко

Сначала решите: решение будет зависеть от константы, которая и будет первым интегралом, который Вы сможете найти. Впрочем, первый интеграл сразу виден

[pogulyat_vyshel]

Nickspa в сообщении #1274801 писал(а):

Наше векторное поле такое: $ydx+(x+y)dy$.

во-первых, дифференциальная форма это не векторное поле
во-вторых, постройте уравнение $\frac{dx}{dy}=...$ и присмотритесь к константе интегрирования , которая появится в его общем решении

[Nickspa]

Red_Herring в сообщении #1274803 писал(а):

Сначала решите: решение будет зависеть от константы, которая и будет первым интегралом, который Вы сможете найти. Впрочем, первый интеграл сразу виден

Решение содержит две константы: $x=C_1e^{t\frac{1+\sqrt{5}}{2}} + C_2e^{t\frac{1-\sqrt{5}}{2}}$. И что дальше? Константы как-то выразить?
И как Вы сразу видите первый интеграл?

[Red_Herring]

Nickspa в сообщении #1274812 писал(а):

Решение содержит две константы

Ну это исключительно в силу того, что вы ввели лишнюю переменную.

Nickspa в сообщении #1274812 писал(а):

И как Вы сразу видите первый интеграл?

Из этого--нет не вижу. А вот как не увидеть то, что выражение $ydx+(x+y)dy$ является полным дифференциалом, является загадкой

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1274822 писал(а):

А вот как не увидеть то, что выражение $ydx+(x+y)dy$ является полным дифференциалом, является загадкой

ну и какое отношение эта форма имеет к задаче?

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1274833 писал(а):

ну и какое отношение эта форма имеет к задаче?

Никакого, я не проверял сведения, поверил ТС :(

[Nickspa]

pogulyat_vyshel в сообщении #1274804 писал(а):

во-первых, дифференциальная форма это не векторное поле

Да, конечно, описался. $y\frac{\partial}{\partial x}+(x+y)\frac{\partial}{\partial y}$

pogulyat_vyshel в сообщении #1274804 писал(а):

во-вторых, постройте уравнение $\frac{dx}{dy}=...$ и присмотритесь к константе интегрирования , которая появится в его общем решении

Уравнение такое получилось $\frac{dx}{dy}=\frac{y}{x+y}$. Как его решить? Попробовал заменой $\frac{x}{y}=z$, но что-то там нехорошее получается. Как-то проще можно?

[Someone]

Nickspa в сообщении #1274841 писал(а):

Как-то проще можно?

Переверните уравнение.

[Nickspa]

Someone в сообщении #1274847 писал(а):

Nickspa в сообщении #1274841 писал(а):

Как-то проще можно?

Переверните уравнение.

Не слишком проще ведь. Той же заменой? Или я не вижу чего-то?

[svv]

Замените $y=zx$, получится уравнение с разделяющимися переменными.

[пианист]

Вообще, как-то все не очень красиво (ну или я не вижу).
Зато некоторый повод применить групповой анализ ;)
Как вариант: у диффура есть очевидная симметрия (растяжение по $x$ и $y$), поэтому можно легко получить интегрирующий множитель для $(x+y)dx - ydy$ (формула гляньте Н.Х.Ибрагимов, Оптыт группового анализа.., почти в самом начале, там что-то про понижение порядка).
Остальное б.-м. очевидно, сразу и интеграл получаем.

[Someone]

Someone в сообщении #1274847 писал(а):

Переверните уравнение.

Вообще-то, особо не упрощается, сначала неправильно воспринял уравнение.

Nickspa в сообщении #1274812 писал(а):

Решение содержит две константы: $x=C_1e^{t\frac{1+\sqrt{5}}{2}} + C_2e^{t\frac{1-\sqrt{5}}{2}}$

Нет, конечно. И откуда взялось $t$ в уравнении $\frac{dx}{dy}=\frac{y}{x+y}$? Кстати, оно правильно написано?

Nickspa в сообщении #1274841 писал(а):

Попробовал заменой $\frac{x}{y}=z$, но что-то там нехорошее получается. Как-то проще можно?

Это стандартный метод. И прорваться вполне можно. Если уравнение перевернёте, то, естественно, лучше обозначить $z=\frac yx$

[Nickspa]

Someone в сообщении #1274946 писал(а):

Решение содержит две константы: $x=C_1e^{t\frac{1+\sqrt{5}}{2}} + C_2e^{t\frac{1-\sqrt{5}}{2}}$ Нет, конечно. И откуда взялось $t$ в уравнении $\frac{dx}{dy}=\frac{y}{x+y}$? Кстати, оно правильно написано?

В начальной системе "точка" - дифференцирование по $t$, разве не так? Оттуда я и вытащил уравнение. Вроде, оно верное. Можно ли как-то найти первый интеграл из этого решения?

Nickspa в сообщении #1274841 писал(а):

Попробовал заменой $\frac{x}{y}=z$, но что-то там нехорошее получается. Как-то проще можно? Это стандартный метод. И прорваться вполне можно. Если уравнение перевернёте, то, естественно, лучше обозначить $z=\frac yx$

Вроде прорвался. Получился вот такой первый интеграл $C = x^2(\frac{y}{x}-\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}}}(\frac{y}{x}-\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}}}$

Правильно ли я понял, что для нахождения первого интеграла системы надо решить уравнение $\frac{dx}{dy}$ или $\frac{dy}{dx}$ и выразить оттуда константу?
Может ли кто-нибудь не полениться и проверить мое решение? Я решал $\frac{dy}{dx}$.

-- 14.12.2017, 23:33 --

Red_Herring в сообщении #1274803 писал(а):

Nickspa в сообщении #1274801 писал(а):

Также решается эта система легко

Сначала решите: решение будет зависеть от константы, которая и будет первым интегралом, который Вы сможете найти. Впрочем, первый интеграл сразу виден

Так как Вы всё-таки сразу увидели первый интеграл? У меня он получился далеко не простой, если я не ошибся. Про полный дифференциал не понял, там я ошибся, вместо поля написал форму. А мне нужна функция, зануляющаяся на поле.

[Someone]

Nickspa в сообщении #1274956 писал(а):

В начальной системе "точка" - дифференцирование по $t$, разве не так?

Виноват, самое начало темы не посмотрел.

Nickspa в сообщении #1274956 писал(а):

Получился вот такой первый интеграл $C = x^2(\frac{y}{x}-\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}}}(\frac{y}{x}-\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}}}$

Там, видимо, вместо скобок должны быть модули. И можно "затащить" $x^2$ внутрь степеней.

Nickspa в сообщении #1274956 писал(а):

проверить мое решение

Правильно (с указанной выше поправкой).

P.S. Разнообразные скобки увеличенного размера создаются командами \left и \right:

Используется синтаксис LaTeX

$\left(\frac 23-x\right$ и $\left\lvert\frac 23\right\rvert$

дают $\left(\frac 23-x\right)$ и $\left\lvert\frac 23\right\rvert$. Левая и правая скобки могут быть разными. Если нужна только одна из двух скобок, вместо другой в команде пишется точка. Другие способы определения размера скобок можно найти в сообщении http://dxdy.ru/post1120.html#p1120.