На очень большой доске записано натуральное число 100. . . 000 (2017 нулей). Вася и Петя по очереди делают ходы, начинает Петя. Каждый игрок может стереть написанное на доске число и заменить его на меньшее число, не являющееся его делителем. Игрок, который не может этого сделать, проигрывает. Кто из игроков может выиграть, как бы ни ходил другой?
(Ленинградская Олимпиада)(Читать строжайше воспрещается!)
(произносится в очень быстром темпе)
«Как я рада, как я рада, что вы все из Ленинграда!»
Прежде всего, следует уточнить, что подразумевается под "заменить его на меньшее число". Думаю, что подразумевается "заменить его на меньшее
натуральное число". В противном случае, я заменяю на 0 - и конец игры. А если разрешены ещё и отрицательные числа, тогда игра вообще не имеет смысла, так как всегда можно найти меньшее число.
Полагаю, что в этой игре выигрышные позиции - степени двойки. А остальные - проигрышные. Первым ходом я заменяю число, написанное на доске, на
. Оно меньше исходного и не является его делителем. Далее, я на каждый ответный ход Васи отвечаю ходом в наименьшую степень двойки, не являющуюся делителем Васиного числа. Рано или поздно Вася продует.
Как доказать?
Вася никогда не сможет пойти в степень двойки, так как любая степень двойки делится на все, меньшие неё.
Я же, напротив, всегда смогу пойти в степень двойки, поскольку для любого числа (большего 1), не являющегося спетенью двойки, найдётся степень двойки, меньшая него и не являющаяся его делителем.
Я в правильном направлении мыслю?
Это можно считать решением?
