ТФКП. Интеграл от функции со счётным числом полюсов

[Metford]

При решении некой задачи пришлось суммировать ряд. Есть для этого методы, связанные с представлением ряда как суммы вычетов некоторой функции - соответственно, у этой функции счётное число особых точек должно быть. И тут возник вопрос: если интеграл, для которого ряд как сумма вычетов получается, несобственный, то как быть с контуром интегрирования? Ведь если я сначала пишу интеграл для контура с участками конечной длины, а потом устремляю соответствующий параметр к бесконечности, то контур в процессе роста начнёт "проходить сквозь особые точки". Это плохо, насколько я понимаю. Наверное, особенно можно не беспокоиться, если особыми точками будут только простые полюсы: тогда можно было бы считать, что получается интеграл в смысле главного значения - и то сомнительно это мне как-то. В общем, хотелось бы прояснить ситуацию.

Есть у меня хорошо известный пример интеграла

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{i\omega x}}{\ch x}dx.$$

Стандартно для его вычисления берётся прямоугольный контур с фиксированным размером "по вертикали" и неограниченно растущий "по горизонтали" в пределе. Внутри контура две особые точки, всё хорошо. Если замкнуть контур полуокружностью и устремить её радиус в бесконечность, то ответ получится неправильный?
Есть ещё другой пример, но о нём попозже. А то может и не понадобится.

[mihiv]

Оба способа, мне кажется, должны дать одинаковый результат, но в первом случае результат - это сумма двух слагаемых, а во втором - сумма ряда. Приравнивая эти выражения, найдем, чему равна сумма ряда.

[Metford]

mihiv в сообщении #1273330 писал(а):

в первом случае результат - это сумма двух слагаемых, а во втором - сумма ряда. Приравнивая эти выражения, найдем, чему равна сумма ряда.

Ну да, метод Ватсона фактически.
Но вопрос заключается именно в том, всё ли в порядке здесь с предельным переходом при вычислении интеграла? Есть какие-то общие утверждения на этот счёт?

[mihiv]

Если особые точки - полюса, как в данном случае, то достаточно, чтобы интеграл по дуге окружности стремился к 0.

[Metford]

Неужели полюс может быть любого порядка? Про особые точки других типов не спрашиваю: с ними понятно.

[mihiv]

По-моему никаких ограничений нет.

[Metford]

mihiv
Спасибо! Тогда второго примера не будет. Там, в принципе, аналогично.