2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство 17.
Сообщение07.12.2017, 12:33 


03/03/12
976
Для положительных $(a,b,c)$ докажите неравенство:

$$4(a^6+b^6+c^6)+5abc(a^3+b^3+c^3)\ge(2a^2+bc)(2b^2+ac)(2c^2+ab)+4(b^3c^3+a^3c^3+a^3b^3)-12(abc)^2$$

Это неравенство является усилением одного здешнего неравенства по моей спецтехнологии. И, хотя оно на вид страшненькое, доказывается не сложнее, если не проще, не усиленного (практически не более трёх действий; почти элегантно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 17.
Сообщение07.12.2017, 14:50 
Заслуженный участник


26/06/07
1784
shevah school, tel-aviv
Это $$4\sum_{cyc}(a^6-a^4b^2-a^4c^2+a^2b^2c^2)+4\sum_{cyc}(a^4b^2+a^4c^2-2a^3b^3)+3abc\sum_{cyc}(a^3-abc)\geq0.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 17.
Сообщение07.12.2017, 16:06 


03/03/12
976
Источником этого неравенства является неравенство из http://dxdy.ru/topic110496.html

arqady, не поняла, Вы уже доказательство привели? Я с этими "сус" не дружу (плохо в них ориентируюсь). У меня другое доказательство (в лоб всё хорошо получается). Интересно, в источнике замысловатые, на мой взгляд, доказательства (даже для только положительных переменных).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 17.
Сообщение08.12.2017, 14:05 


03/03/12
976
Моё решение:
$$4a^6+3bca^4-4(b^3+c^3)a^3-9b^2c^2a^2+3(b^4c+bc^4)a+4(b^6+c^6)-4b^3c^3\ge0$$

$a=\max(a,b,c)$

$abc=1$

$b=k_1a$

$c=k_2a$

$k_1k_2=x\le1$

$k_1^3+k_2^3=y\le2$

$x\le\sqrt[3]{\frac{y^2}{4}}$

$12x^3+9x^2-(3+3y)x-4(y^2-y+1)\le0$

Сделаем усиление:

$9x^2-(3+3y)x-(y^2-4y+4)\le0$

$t=y-2$

$t^2+3xt+9x-9x^2\ge0$

Остаётся решить квадратное неравенство. Оно верно. Значит и исходное неравенство верно.

Остаётся решить вопрос о том, будет ли исходное неравенство усиленным по отношению к источнику в рассматриваемой области определения. (Я специально сузила область определения, т.к. предусматривается дальнейшее обобщение). Да, оно будет усиленным. И даже более того (я где-то видела подобное, но и сама могу доказать методом "в лоб").

Если замечаний по решению исходного неравенства не будет, то продолжу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group