2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Интеграл от многозначной функции
Сообщение06.12.2017, 22:59 


02/02/16
21
Здравствуйте. Продолжаю вспоминать простейшую математику решая задачи. Подскажите как учесть $\Re$ и найти значение интеграла.
$$
\int_0^{\infty} \frac{\Re\{\sqrt{x+a}\}}{e^x+1}\;dx, a \in \mathbb{C},
$$
здесь $\Re$ — вещественная часть комплексной функции. Это интеграл с многозначной функцией в числителе, поэтому пытаюсь решать следующими шагами.

1. Для начала рассмотрим подынтегральную функцию на комплексной плоскости:
$$
f(z) = \frac{\Re\{\sqrt{z+a}\}}{e^z+1}
$$
2. Так как в числителе стоит многозначная функция $\sqrt{z+a}$, то необходимо зафиксировать основную ветвь $f(z)$.

2.1 Обозначим
$$
z+a = r e^{i\phi+i 2\pi n}, \; n\in \mathbb{Z}
$$
и проведем по $
(a,\infty)
$ разрез. Тогда $
\phi \in (0, 2\pi)
$.

2.2 В нашем случае надо выбрать $n\in \mathbb{Z}$ для
$$
f(z) = \frac{\Re\{\sqrt{r e^{i\phi+i 2\pi n}}\}}{e^z+1}  = \frac{\Re\{\sqrt{r} e^{i\phi/2+i\pi n}\}}{e^z+1}
= \frac{\sqrt{r} \cos(\phi/2+\pi n)}{e^z+1}.
$$
Удобно взять $n=0$, тогда основная ветвь
$$
f_0(z) = \frac{\sqrt{r} \cos(\phi/2)}{e^z+1}.
$$

3. Здесь можно воспользоваться теоремой о вычетах если обогнуть разрез по пути $\gamma$ как на картинке ниже.
Изображение

Тогда

$$
\oint_{\gamma}\frac{\sqrt{r} \cos(\phi/2)}{e^z+1} \; dz = 2\pi i \sum_{k} \underset{z=z_k} {\mathrm{Res}}\frac{\sqrt{r} \cos(\phi/2)}{e^z+1} .
$$
Здесь устранимые особые точки $z_k=i\pi (2k+1), k\in\mathbb{Z}.$

Дальше я теряюсь, ряд расходится и не могу сообразить как вычислить интеграл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от многозначной функции
Сообщение07.12.2017, 00:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1723
Москва
Tell Wilhelm в сообщении #1272734 писал(а):
и проведем по $
(a,\infty)
$ разрез.

Как-то странно Вы разрез провели по-моему. Точка ветвления явно осталась не задета этим разрезом, а тогда зачем он?..
Да и контур интегрирования выглядит странновато по той же причине.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от многозначной функции
Сообщение07.12.2017, 09:56 


02/02/16
21
Metford в сообщении #1272758 писал(а):
Tell Wilhelm в сообщении #1272734 писал(а):
и проведем по $
(a,\infty)
$ разрез.

Как-то странно Вы разрез провели по-моему. Точка ветвления явно осталась не задета этим разрезом, а тогда зачем он?..
Да и контур интегрирования выглядит странновато по той же причине.

Согласен, поторопился я с выбором контура. Мне хотелось включить в контур интервал интегрирования, но ситуация с произвольным $a \in \mathbb{C}$ сложнее. Контур из первого сообщения только для $a=0$ подойдет. Построил для наглядности для двух значений $a$ поведение вещественной и мнимой частей.

Случай для $a=1+i$:
Изображение

Случай для $a=i\pi$:
Изображение

На картинках серые линии и заливка цветом обозначают мнимую часть, а синие линии — контуры вещественной части. Красная линия — разрез.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от многозначной функции
Сообщение07.12.2017, 12:30 


11/07/16
272
Сомневаюсь, что интеграл можно выразить в замкнутой форме. Некоторое представление о нем дает численное нахождение с Мэйплом (см. Dropbox ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от многозначной функции
Сообщение07.12.2017, 14:26 


02/02/16
21
Markiyan Hirnyk, по каким признакам Вы понимаете, что нет результата в замкнутой форме? Я не знаком с такой теорией. Был бы благодарен за ссылки на литературу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от многозначной функции
Сообщение07.12.2017, 16:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2212
Уфа
Я прошу прощения, но ведь, кажется, $\operatorname{Re}(z)$ не является аналитической функцией.
А если так, то какое мы имеем право вычеты применять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от многозначной функции
Сообщение07.12.2017, 18:27 
Заслуженный участник


10/01/16
1382
worm2
Ну, можно посчитать интеграл, и у полученного - взять Re...
Беда в том, что:
Функция многозначна. А через вычеты можно считать только от однозначной, да еще и по контуру, который есть граница ограниченной области. А для неограниченной - считать как предел интегралов по огранченным - как на красивой красной картинке. И вот, если это все есть, и интеграл по большой окружности стремится к нулю (что в задаче - не так, что и объясняет расходимость получающегося ряда), то что-нибудь и получится.
Вот только не в этой задаче: тут все плохо, и если выделять однозначную ветвь, то контур интегрирования будет доходить до точки $-a$, что неминуемо скажется на результате. Так что я также - почти - уверен, что интеграл не выражается через элементарные. ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от многозначной функции
Сообщение07.12.2017, 18:44 


11/07/16
272
Tell Wilhelm
Имею определенный опыт вычисления интегралов с применением вычетов. В частности (дело давнее, могу признаться), рецензировал эту статью И. Поединцевой. Посмотрите на с. 391. Моими стараниями это место было уточнено, и не только оно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от многозначной функции
Сообщение07.12.2017, 23:41 


11/07/16
272
Возможно, получится найти асимптотику рассматриваемого интеграла. По моим прикидкам этот интеграл равен $\operatorname{const} a^{\frac 1 2 }(1+o(1)),\, a \to+\infty $. Полезно заглянуть в книгу М.В. Федорюк, Метод перевала. - М.: Наука, 1977.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от многозначной функции
Сообщение08.12.2017, 08:32 
Заслуженный участник


03/01/09
1175
москва
Markiyan Hirnyk в сообщении #1272999 писал(а):
интеграл равен $\operatorname{const} a^{\frac 1 2 }(1+o(1)),\, a \to+\infty $


$\operatorname {const}=\ln 2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от многозначной функции
Сообщение10.12.2017, 19:30 


02/02/16
21
worm2 в сообщении #1272868 писал(а):
Я прошу прощения, но ведь, кажется, $\operatorname{Re}(z)$ не является аналитической функцией.
А если так, то какое мы имеем право вычеты применять?

Вы правы, $f(z)=\Re (z)$ — неаналитическая. Как отметил выше DeBill, мы можем это обойти.
DeBill в сообщении #1272903 писал(а):
worm2
Ну, можно посчитать интеграл, и у полученного - взять Re...

Я хотел уточнить, мы это можем сделать из-за того, что уверены, что знаменатель вещественный?
DeBill в сообщении #1272903 писал(а):
Вот только не в этой задаче: тут все плохо, и если выделять однозначную ветвь, то контур интегрирования будет доходить до точки $-a$, что неминуемо скажется на результате. Так что я также - почти - уверен, что интеграл не выражается через элементарные. ...

Мои попытки свести к специальным функциям закончились ничем.
Markiyan Hirnyk в сообщении #1272999 писал(а):
Возможно, получится найти асимптотику рассматриваемого интеграла. По моим прикидкам этот интеграл равен $\operatorname{const} a^{\frac 1 2 }(1+o(1)),\, a \to+\infty $. Полезно заглянуть в книгу М.В. Федорюк, Метод перевала. - М.: Наука, 1977.

Хотелось бы строгое решение.

Смотрю на этот интеграл уже не первый день — ничего не выходит. Представлен ниже как функция от параметра $a$.

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от многозначной функции
Сообщение10.12.2017, 19:39 
Заслуженный участник


10/01/16
1382
Tell Wilhelm в сообщении #1273731 писал(а):
мы это можем сделать из-за того, что уверены, что знаменатель вещественный?

Ну да (при вещественных $x$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от многозначной функции
Сообщение10.12.2017, 21:12 
Заслуженный участник


03/01/09
1175
москва
Tell Wilhelm в сообщении #1272734 писал(а):
Продолжаю вспоминать простейшую математику решая задачи.

Tell Wilhelm
А откуда эта задача?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от многозначной функции
Сообщение11.12.2017, 23:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4607
1) При $a=0$ у интеграла есть замкнутое выражение через $\zeta(3/2)$.

2) При произвольном $a$, как мне кажется, это сводится к неполному интегралу Ферми--Дирака (он же неполный поли-логарифм), см.

https://en.wikipedia.org/wiki/Incomplet ... c_integral

https://en.wikipedia.org/wiki/Incomplete_polylogarithm

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от многозначной функции
Сообщение12.12.2017, 14:28 
Заслуженный участник


03/01/09
1175
москва
Можно найти действительную часть числителя в явном виде. Пусть $a=a_1+ia_2$. Запишем равенство $\sqrt {x+a_1+ia_2}=p+iq$. Возводим его в квадрат и получим : $x+a_1=p^2-q^2, a_2=2pq$. Отсюда находим $$Re$ числителя: $p=\sqrt {\dfrac {x+a_1+\sqrt {(x+a_1)^2+a_2^2}}{2}.$$Таким образом исходный интеграл сводится к интегралу от вещественной функции: $$I=\frac 1{\sqrt 2}\int \limits _0^{\infty}\dfrac {\sqrt {x+a_1+\sqrt {(x+a_1)^2+a_2^2}}}{e^x+1}dx.$$Два частных случая: $1) a_1>0, a_2=0, I=\int \limits _0^{\infty }\dfrac {\sqrt {x+a_1}}{e^x+1}dx, 2) a_1<0, a_2=0, I=\int \limits _{|a_1|}^{\infty }\dfrac {\sqrt {x+a_1}}{e^x+1}dx$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group