2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пи через простые
Сообщение26.11.2017, 22:52 
Аватара пользователя


22/11/13
498
Wikipedia писал(а):
$\pi=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}+...$ (Euler, 1748)

After the first two terms, the signs are determined as follows: If the denominator is a prime of the form $4m-1$, the sign is positive; if the denominator is a prime of the form $4m+1$, the sign is negative; for composite numbers, the sign is equal the product of the signs of its factors.

$f_{m}(p)=\begin{cases}
-1,&\text{если $p\equiv1\pmod{m}$}\\
1, &\text{в противном случае}\\
\end{cases}$

$g(m)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\cdot\prod\limits_{p|n}^{}f_{m}(p)$

$\pi=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{8}{(4n+1)(4n+3)}=g(4)$

$\frac{2\pi}{\sqrt{3}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{6}{(3n+1)(3n+2)}=g(3)$

$g(5)$ расходится, значит здесь не $mp\pm1$, а возможно взаимно простые. Т.к. $\varphi(n)\equiv0 \pmod{2}$ при $n>2$, предположим, что знаки чередуются. Не будем рассматривать сложные варианты с составными, остановимся на простых ($m$).

$h_{m}(p)=\begin{cases}
-1,&\text{если $p\equiv x\pmod{m}$, где $x\equiv1\pmod{2}$}\\
1, &\text{в противном случае}\\
\end{cases}$

$j(m)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\cdot\prod\limits_{p|n}^{}h_{m}(p)$

Можно ли выразить $j(5)$ (сходится) в виде

$a\pi=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{b}{(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)}=cj(5)$

и соот.-но для других простых (и составных, но там уже сложнее чередовать знаки) $m$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи через простые
Сообщение27.11.2017, 04:23 


21/05/16
4292
Аделаида
У вас функция g должна быть так:
$g(m)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1{n\prod\limits_{p|n}^{}f_{m}(p)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи через простые
Сообщение27.11.2017, 06:37 
Аватара пользователя


22/11/13
498
Да, вы правы. Аналогично $j(n)$.

(Оффтоп)

Это у меня уже систематически. Никакого злого хитрого умысла тут нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи через простые
Сообщение27.11.2017, 08:32 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
kthxbye
Используйте команду \displaystyle. Так ведь красивее:

$\displaystyle a\pi=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{b}{(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)}=cj(5)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи через простые
Сообщение10.12.2017, 23:52 
Аватара пользователя


22/11/13
498
Gagarin1968, благодарю за совет.

Опытным путём получил интересный результат, косвенно связанный с основным вопросом:

$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{g(2)}{n^2}=\frac{5\zeta(2)}{6}=\frac{5\pi^2}{36}, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1-g(2)}{n^2}=\frac{\zeta(2)}{6}=\frac{\pi^2}{36}$

$\displaystyle f_{m}(p)=\begin{cases}
-1,&\text{если $p\equiv1\pmod{m}$}\\
1, &\text{в противном случае}\\
\end{cases}$

$\displaystyle g(m)=\begin{cases}
1,&\text{если $\prod\limits_{p|n}^{}f_{m}(p)=1$}\\
0, &\text{в противном случае}\\
\end{cases}$

Доказывать не берусь. Доказательство равенства, приведенного в цитате не нашёл. Мог ли Эйлер опубликовать результат без доказательства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи через простые
Сообщение09.02.2018, 23:20 
Аватара пользователя


22/11/13
498
Рассмотрел генерализацию для знакочередующихся сумм обратных взаимно простым с $n$, через которые можно получать результаты, аналогичные тому, что сидит в ПП. Ознакомиться можно тут.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Евгений Машеров


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group