Общее решение после замены переменных (ДУ в ЧП)

[Someone]

Ser26rus в сообщении #1268157 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что два множителя $e^{-\frac{3}{32}\xi}\cdot F1(\xi)$ заменили на условную функцию $F1'(\xi)$?
И тоже самое с множителями $e^{\frac{5}{32}\xi}\cdot F2(\eta)$ → $F2'(\eta)$

Правильно.

[Lia]

Ser26rus в сообщении #1268160 писал(а):

Поправил....

Не до конца. У Вас левая часть от двух переменных зависит.

Ser26rus в сообщении #1268160 писал(а):

Я записывал общее решение как известный факт, т.е. $u_{xy}=0 \Rightarrow u(x,y)=\Phi(x)+\Psi(y)$.
Будут ли какие-то внутренние изменения, если расписывать решение, например так:

Смена обозначений, очевидно, ни на что не влияет.
А вот вопрос про функции $\Phi$, $\Psi$ так и повис в тумане. А ведь в него все и уперлось, похоже. Вы точно полностью понимаете, что это за звери? Ну хотя бы вот тут в цитате?

-- 23.11.2017, 00:58 --

Ser26rus в сообщении #1268160 писал(а):

можно ли сразу написать, что решением $w_{\xi\eta}=0$ является уравнение $w(\xi,\eta)=F1(\xi)+F2(\eta)$?

Можно.

Индексы оформляйте нормально. $F_1$ -- F_1, уже слегка притомилась Ваши посты править. )

[Someone]

Ser26rus в сообщении #1268160 писал(а):

Запишем последнее уравнение в виде:

$$ \frac{\partial}{\partial \xi}\left(\frac{\partial w}{\patial \eta}\right)=0. $$

Пусть $\frac{\partiwl w}{\partial \eta}=g(\eta)$

Что-то странное написано. Какие-то важные символы, похоже, пропущены.

На вопрос Lia ответьте, пожалуйста.

[Ser26rus]

Lia,Someone
Вроде бы поправил:

Ser26rus в сообщении #1268157 писал(а):

И тоже самое с множителями $e^{\frac{5}{32}\eta}\cdot F2(\eta)$ → $F2'(\eta)$

Someone в сообщении #1268166 писал(а):

Что-то странное написано. Какие-то важные символы, похоже, пропущены.

Да, дифференциал в знаменателе.

Lia в сообщении #1268165 писал(а):

А вот вопрос про функции $\Phi$, $\Psi$ так и повис в тумане. А ведь в него все и уперлось, похоже. Вы точно полностью понимаете, что это за звери? Ну хотя бы вот тут в цитате?

Конкретно в данном случае, функции $\Phi$ и $\Psi$ любые, своих аргументов естественно.
В моём же случае, я так понимаю, функция $F_{1}(\xi)=\exp(-\frac{3}{32}\xi)\cdot F_{1}'(\xi)$, где $F_{1}'(\xi)$ - любая функция от $\xi$.
А функция $F_{2}(\eta)=\exp(\frac{5}{32}\eta)\cdot F_{2}'(\eta)$, где $F_{2}'(\eta)$ - любая функция от $\eta$.

[Lia]

Ну конечно. Maple просто взял другие "любые" функции. Загнав туда и экспоненты. Вы могли оставить решение и в своем виде, оно от этого не перестанет быть решением.

[Ser26rus]

Lia в сообщении #1268165 писал(а):

Смена обозначений, очевидно, ни на что не влияет.

Просто в этом случае, у нас имеется просто функция $u(x,y)$, которая зависит только от $x, y$.
Но ведь мы делали некоторые замены: $u(x,y) \to v(\xi,\eta) \to w(\xi,\eta)\cdot exp(a\xi+b\eta)$.

[Lia]

Ser26rus
Вы ж уже большой, наверное :) Вас, наверное, на первом курсе первообразные учили считать. Делаем одну замену, другую, .... много - посчитали - возвращаемся обратно, отматывая в обратном порядке. Так с тех пор ничего не поменялось.

-- 23.11.2017, 01:17 --

Ser26rus в сообщении #1268171 писал(а):

Просто в этом случае, у нас имеется просто функция $u(x,y)$, которая зависит только от $x, y$.
Но ведь мы делали некоторые замены: $u(x,y) \to v(\xi,\eta) \to w(\xi,\eta)\cdot \exp(a\xi+b\eta)$.

Ваша функция $u(x,y)$ к уравнению $u_{xy}=0$ не имеет никакого отношения.

[Ser26rus]

Lia,Someone
Хорошо, тогда решением исходного уравнения будем считать:

$$ \displaystyle{u(x,y) ={{\rm e}^{-{\frac {3\cdot (y+x/3)}{32}}}}{{\rm e}^{{\frac {5\cdot (y+3x)}{32}}}}\Phi\left(y+\frac{x}{3}\right) +{{\rm e}^{-{\frac {3\cdot(y+x/3)}{32}}}}{{\rm e}^{{\frac {5\cdot(y+3x)}{32}}}}\Psi\left(y+3x\right)} $$

Где $\Phi(\cdot),\Psi(\cdot)$ - произвольные функции своих аргументов.

Или же:

$$ u(x,y)=\exp\left(-\frac{3}{32}\left(y+\frac{x}{3}\right)\right)\Omega(y+3x)+\exp\left(\frac{5}{32}\left(y+3x\right)\right)\Gamma\left(y+\frac{x}{3}\right) $$

Где

$$ \Omega\left(y+3x\right)=\exp\left(\frac{5}{32}\left(y+3x\right)\right)\cdot \Omega_{1}(y+3x) $$

$$ \Gamma\left(y+\frac{x}{3}\right)=\exp\left(-\frac{3}{32}\left(y+\frac{x}{3}\right)\right)\cdot \Gamma_{1}\left(y+\frac{x}{3}\right) $$

$\Omega_{1}(\cdot),\Gamma_{1}(\cdot)$ - произвольные функции своих аргументов.

Какой вариант наболее предпочтительные в быту, так сказать? :)

[Someone]

Ser26rus в сообщении #1268178 писал(а):

Какой вариант наболее предпочтительные в быту, так сказать?

Существенной разницы нет. Особенно если в первом варианте скобки не раскрывать, произведение экспонент не городить, а вместо того показатель степени упростить после возврата к $x$ и $y$. Даже, по-моему, чуть проще выглядит: показательная функция только одна.

[Lia]

Ser26rus
Вы один или вас двое? ))

Ser26rus в сообщении #1268178 писал(а):

Где

$$ \Omega\left(y+3x\right)=\exp\left(\frac{5}{32}\left(y+3x\right)\right)\cdot \Omega_{1}(y+3x) $$

$$ \Gamma\left(y+\frac{x}{3}\right)=\exp\left(-\frac{3}{32}\left(y+\frac{x}{3}\right)\right)\cdot \Gamma_{1}\left(y+\frac{x}{3}\right) $$

Какой смысл в этой детализации? Вы ничего не знаете про функцию $\Omega_1$, она произвольна, - что я из Вас почему-то долго выбивала, - и что толку писать что некая функция является произведением этой произвольной на экспоненту с тем же аргументом? Если является, то какая она?

Someone в сообщении #1268184 писал(а):

а вместо того показатель степени упростить после возврата к $x$ и $y$.

Вот, кстати, да.

[Ser26rus]

Someone, Lia
Спасибо за ответы!
И ещё буквально одно уточнение, верно ли следующее:

Имеем:
v(\xi,\eta)=w(\xi,\eta)\cdot e^{a\xi+b\eta}, w_{\xi\eta}=0$. Перепишем последнее уравнение в виде:

$$ \frac{\partial}{\partial \xi}\left(\frac{\partial w}{\partial \eta}\right)=0 \hspace{}(0) $$

Пусть $\frac{\partial w}{\partial \eta}=g(\eta)$, тогда:

$$ \frac{\partial}{\partial \xi}\left(\frac{\partial w}{\partial \eta}\right)=\frac{\partial g}{\partial \xi}=0 \hspace{20pt}(1) $$

Общим решением уравнения (1) является произвольная функция $f(\eta)$, тогда для $w$ имеем:

$$ \frac{\partial w}{\partial \eta}=f(\eta) $$

Общее решение которого имеет вид: $w(\xi,\eta)=\int f(\eta)\, d\eta+\psi(\xi)$. Поскольку функция $f(\eta)$ - любая, то и интеграл от неё также любая функция, которую обозначим $\phi(\eta)$.
Тогда общее решение (0) будет иметь вид:

$$ w(\xi,\eta)=\psi(\xi)+\phi(\eta) $$

[Lia]

Ser26rus в сообщении #1268193 писал(а):

Пусть $\frac{\partial w}{\partial \eta}=g(\eta)$, тогда:

$$ \frac{\partial}{\partial \xi}\left(\frac{\partial w}{\partial \eta}\right)=\frac{\partial g}{\partial \xi}=0 \hspace{20pt}(1) $$

Вот не надо этого "пусть". А если нет, то нуля уже не будет? Почему?

В общем, решайте в прямом порядке. Уравнение - такое, значит...

[Ser26rus]

Lia в сообщении #1268197 писал(а):

Вот не надо этого "пусть". А если нет, то нуля уже не будет? Почему?

Беру все эти "словечки" из справочников, поскольку самостоятельно доказывать что-либо не могу

Lia в сообщении #1268197 писал(а):

В общем, решайте в прямом порядке. Уравнение - такое, значит...

Значит общее решение имеет вид: $w(\xi,\eta)=\phi(\xi)+\psi(\eta)$
Вы это имеете ввиду?
Потому что меня на данный момент интересует правильная интерпретация теории.

[Lia]

Ser26rus в сообщении #1268202 писал(а):

Беру все эти "словечки" из справочников, поскольку самостоятельно доказывать что-либо не могу

Ну так возьмите учебник и прочитайте, как это делается. Это в каждом учебнике по УрЧП есть.
В принципе, можно использовать как готовый результат, но хорошо бы все-таки понимать, что откуда берется.