2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Общее решение после замены переменных (ДУ в ЧП)
Сообщение21.11.2017, 18:29 


21/11/17
27
Добрый день.
Возникла проблема с решений ДУ в частных производных.
Всё своё решение до этого момента выкладывать не вижу смысла (но если необходимо, могу написать), поскольку идет лишь приведение ДУ к каноническому виду (главные интегралы, замены переменных, вычисление частных производных). Но в конечном итоге (на начальном шаге, естественно, тоже было известно, что уравнение имеет гиперболический тип) получил данное уравнение:
$$
21\frac{1}{3}v_{\xi\eta}-3\frac{1}{3}v_{\xi}+2v_{\eta}-\frac{5}{16}v=0.
$$
Но застопорился на решении (необходимо получить общее решение), и не знаю куда копать/решать. Поскольку на занятиях рассматривали совершенно простые уравнения..

-- 21.11.2017, 19:01 --

Добавлю, пожалуй, получившуюся замену переменных (чтобы в карантин не улететь :roll:, все-таки помощь нужна)
$$
\begin{cases}
\displaystyle{\xi=y+\frac{x}{3}},\\
\eta=y+3x.
\end{cases}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Общее решение после замены переменных (ДУ в ЧП)
Сообщение21.11.2017, 22:49 


21/11/17
27
Запишем полученное уравнение в следующем виде:
$$
\frac{64}{3}\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi \partial \eta}=\frac{10}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}-2\frac{\partial v}{\partial \eta}+\frac{5}{16}v
$$
Сделаем следующее преобразование:
$$
\frac{64}{3}\frac{\partial}{\partial \eta}\left(\frac{\partial v}{\partial \xi}\right)=\frac{10}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}-2\frac{\partial v}{\partial \eta}+\frac{5}{16}v
$$
Проинтегрируем обе части уравнения по \eta:
$$
\frac{64}{3}\int\frac{\partial}{\partial \eta}\left(\frac{\partial v}{\partial \xi}\right)d\eta=\int\left(\frac{10}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}-2\frac{\partial v}{\partial \eta}+\frac{5}{16}v\right)d\eta
$$

$$
\frac{64}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}=\int\left(\frac{10}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}-2\frac{\partial v}{\partial \eta}+\frac{5}{16}v\right)d\eta
$$
Меня в ту сторону понесло? Если да, то каким образом необходимо интегрировать правую часть? :roll: :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Общее решение после замены переменных (ДУ в ЧП)
Сообщение21.11.2017, 23:04 


20/03/14
12041
Шпаргалка Там ближе к концу посмотрите, что с этим делать.

Но это если повезет. Привели бы Вы лучше исходную задачу (с решением), а то могли ведь и ошибиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общее решение после замены переменных (ДУ в ЧП)
Сообщение21.11.2017, 23:46 


21/11/17
27
Lia в сообщении #1267719 писал(а):
Шпаргалка Там ближе к концу посмотрите, что с этим делать.

Но это если повезет. Привели бы Вы лучше исходную задачу (с решением), а то могли ведь и ошибиться.

Я бы привел, только слишком много в Latex набирать.. Я усну, наверное.. А картинкой запрещено добавлять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общее решение после замены переменных (ДУ в ЧП)
Сообщение21.11.2017, 23:49 


20/03/14
12041
Спите на здоровье. Понадобится - наберете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общее решение после замены переменных (ДУ в ЧП)
Сообщение22.11.2017, 01:33 


21/11/17
27
Lia в сообщении #1267735 писал(а):
Спите на здоровье. Понадобится - наберете.

Произвел замену, как Вы и подсказали:

$$
\displaystyle{v(\xi,\eta)=w(\xi,\eta)\cdot e^{a\xi+b\eta},}
$$
$$
\displaystyle{v_{\xi}=(w_{\xi}+aw)\cdot e^{a\xi+b\eta},}
$$
$$
\displaystyle{v_{\eta}=(w_{\eta}+bw)\cdot e^{a\xi+b\eta},}
$$
$$
\displaystyle{v_{\xi\eta}=(w_{\xi\eta}+aw_{\eta})\cdot e^{a\xi+b\eta}+b(w_{\xi}+aw)\cdot e^{a\xi+b\eta},}
$$

Подставил новые переменные и получилось:
$$
\frac{64}{3}w_{\xi\eta}+\frac{5}{8}w=0\hspace{30pt}(1)
$$

Замечу, что коэффициенты a и b равны следующему:
$$
a=-\frac{3}{32}, b=\frac{5}{32}.
$$

И здесь я, на самом деле удивился, поскольку посмотрите, что выдал Maple по решению исходного ДУ в ЧП:
$$
\displaystyle{v \left( \xi,\eta \right) ={{\rm e}^{{\frac {5\,\eta}{32}}}}{\it \_F_{1}}
 \left( \xi \right) +{{\rm e}^{-{\frac {3\,\xi}{32}}}}{\it \_F_{2}}
 \left( \eta \right)}
$$

Но при решении уравнения (1), естественно, получается следующий ответ (прим. Maple):

$$
\displaystyle{f \left( \xi,\eta \right) ={\it \_C_{1}}\,{{\rm e}^{{\it \_c}_{{1}}\xi}}{
\it \_C_{2}}\,{{\rm e}^{-{\frac {15\,\eta}{512\,{\it \_c}_{{1}}}}}}}
$$

И тут я не знаю, что вообще наделал, если честно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общее решение после замены переменных (ДУ в ЧП)
Сообщение22.11.2017, 02:22 


20/03/14
12041
Ser26rus в сообщении #1267748 писал(а):
Но при решении уравнения (1), естественно, получается следующий ответ (прим. Maple):

Нездоровый у него какой-то вид для УрЧП. Разве что, на частное решение потянет.
Ser26rus в сообщении #1267748 писал(а):
И здесь я, на самом деле удивился, поскольку посмотрите, что выдал Maple по решению исходного ДУ в ЧП:

Ну и отлично. Только подчерки эти ни к чему, для людей же пишете.
Все, что выше процитированной напоследок мной строчки, верно - кроме уравнения (1) :)
Пересчитайте. Замену аккуратно подставьте в уравнение. И все должно получиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общее решение после замены переменных (ДУ в ЧП)
Сообщение22.11.2017, 02:37 


21/11/17
27
Lia в сообщении #1267755 писал(а):
Ser26rus в сообщении #1267748 писал(а):
Но при решении уравнения (1), естественно, получается следующий ответ (прим. Maple):

Нездоровый у него какой-то вид для УрЧП. Разве что, на частное решение потянет.
Ser26rus в сообщении #1267748 писал(а):
И здесь я, на самом деле удивился, поскольку посмотрите, что выдал Maple по решению исходного ДУ в ЧП:

Ну и отлично. Только подчерки эти ни к чему, для людей же пишете.
Все, что выше процитированной напоследок мной строчки, верно - кроме уравнения (1) :)
Пересчитайте. Замену аккуратно подставьте в уравнение. И все должно получиться.

Спасибо за ответ!
Сейчас всё распишу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общее решение после замены переменных (ДУ в ЧП)
Сообщение22.11.2017, 02:43 


20/03/14
12041
Ser26rus
Это необязательно. У себя на бумажке пересчитайте.

Пользуйтесь кнопкой "Вставка", не цитируйте лишнее. Выделяем нужное - жмем кнопку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общее решение после замены переменных (ДУ в ЧП)
Сообщение22.11.2017, 03:09 


21/11/17
27
Отмечу, что при вычислении канонической формы, я разделил исходное уравнение (представлено в 1 сообщении) на -1 чтобы перед второй частной производной был знак (+), это то хоть законно? А то уже сомнения по каждому вздоху :|


$$
\frac{64}{3}\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi \partial \eta}-\frac{10}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}+2\frac{\partial v}{\partial \eta}-\frac{5}{16}v=0.
$$
$$
\displaystyle{v(\xi,\eta)=w(\xi,\eta)\cdot e^{a\xi+b\eta},}
$$
$$
\displaystyle{v_{\xi}=(w_{\xi}+aw)\cdot e^{a\xi+b\eta},}
$$
$$
\displaystyle{v_{\eta}=(w_{\eta}+bw)\cdot e^{a\xi+b\eta},}
$$
$$
\displaystyle{v_{\xi\eta}=(w_{\xi\eta}+aw_{\eta})\cdot e^{a\xi+b\eta}+b(w_{\xi}+aw)\cdot e^{a\xi+b\eta},}
$$

$$
\frac{64}{3}\left(\displaystyle{(w_{\xi\eta}+aw_{\eta})\cdot e^{a\xi+b\eta}+b(w_{\xi}+aw)\cdot e^{a\xi+b\eta}}\right)-
\frac{10}{3}\displaystyle{(w_{\xi}+aw)\cdot e^{a\xi+b\eta}}+
2\displaystyle{(w_{\eta}+bw)\cdot e^{a\xi+b\eta}}-
\frac{5}{16}\displaystyle{we^{a\xi+b\eta}}=
$$
$$
=\displaystyle{e^{a\xi+b\eta}}\cdot\left[\frac{64}{3}w_{\xi\eta}+\frac{64}{3}aw_{\eta}+\frac{64}{3}bw_{\xi}+
\frac{64}{3}abw-\frac{10}{3}w_{\xi}-\frac{10}{3}aw+2w_{\eta}+2bw-\frac{5}{16}w\right]=
$$
$$
=\displaystyle{e^{a\xi+b\eta}}\cdot\left[\frac{64}{3}w_{\xi\eta}+\left(\frac{64}{3}a+2\right)w_{\eta}+
\left(\frac{64}{3}b-\frac{10}{3}\right)w_{\xi}+\left(\frac{64}{3}ab-\frac{10}{3}a+2b-\frac{5}{16}\right)w\right]=
$$
$$
=\left[\begin{array}{l}
\displaystyle{\frac{64}{3}a+2=0},\\
\displaystyle{\frac{64}{3}b-\frac{10}{3}=0},
\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{l}
\displaystyle{a=-\frac{3}{32}},\\
\displaystyle{b=\frac{5}{32}},
\end{array}\right]=
$$
$$
=\displaystyle{e^{-\frac{3}{32}\xi+\frac{5}{32}\eta}}\cdot\left[\frac{64}{3}w_{\xi\eta}+0+0+\left(-\frac{64}{3}\frac{3}{32}\frac{5}{32}+\frac{10}{3}\frac{3}{32}+\frac{2\cdot5}{32}-\frac{5}{16}\right)w\right]=
$$
$$
=\exp\left(-\frac{3}{32}\xi+\frac{5}{32}\eta\right)\cdot\frac{64}{3}w_{\xi\eta}.
$$

-- 22.11.2017, 03:10 --

Lia в сообщении #1267759 писал(а):
Ser26rus
Это необязательно. У себя на бумажке пересчитайте.

Пользуйтесь кнопкой "Вставка", не цитируйте лишнее. Выделяем нужное - жмем кнопку.

У себя на бумажке, к сожалению, не видел уже ошибки. Когда набирал формулы - заметил! Всё, как Вы говорили, получилось :oops: :wink:. Не могли бы Вы только довести меня на данном этапе до ответа? Боюсь сейчас сделать опять ошибку.. Потому что уже не представляю, что тут нужно/можно убирать/добавлять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общее решение после замены переменных (ДУ в ЧП)
Сообщение22.11.2017, 03:12 


20/03/14
12041
А что тут доводить-то? Вы уравнение не забудьте написать. Его Вы должны уметь решать. То, что получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общее решение после замены переменных (ДУ в ЧП)
Сообщение22.11.2017, 03:20 


21/11/17
27
Lia в сообщении #1267767 писал(а):
Его Вы должны уметь решать.

Я не совсем понимаю, нужно ли что-то делать с заменой \displaystyle{v(\xi,\eta)=w(\xi,\eta)\cdot e^{a\xi+b\eta}.
Потому что решением вот этого ДУ в ЧП u_{\xi\eta}=0 является это:
$$
u_{\xi\eta}=\Phi(\xi)+\Psi(\eta)
$$
В моем случае мы должны делить на
$$
\frac{64}{3}\exp\left(-\frac{3}{32}\xi+\frac{5}{32}\eta\right)
$$
Или нет... Поясните, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общее решение после замены переменных (ДУ в ЧП)
Сообщение22.11.2017, 03:21 


20/03/14
12041
Какое уравнение получилось в результате замены?

 Профиль  
                  
 
 Re: Общее решение после замены переменных (ДУ в ЧП)
Сообщение22.11.2017, 03:22 


21/11/17
27
Lia в сообщении #1267774 писал(а):
Какое уравнение получилось в результате замены?

$$
\exp\left(-\frac{3}{32}\xi+\frac{5}{32}\eta\right)\cdot\frac{64}{3}w_{\xi\eta}=0.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Общее решение после замены переменных (ДУ в ЧП)
Сообщение22.11.2017, 03:24 


20/03/14
12041
Ну а дальше? упростить-порешать?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 59 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group