2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать существование линейных форм
Сообщение07.03.2006, 00:52 


08/01/06
52
Прошу помощи в решении следующей задачи...
Пусть $V$ векторное пространство над полем $K$. $U, W$ - подпространства $V$, притом $V=U \oplus W$. Путь $(w_i)_i$_\in$_M$ - базис $W$.
Доказать:
$\forall i \in M$ существуют линейные формы \lambda_i$ \in V^* $ : $U=\bigcap_{i \in M} Ker(\lambda_i)$.

Вот, что у меня получилось (вроде правильно, но я не уверен):

Путь $(u_i)_i$_\in$_J$ - базис $U$, a $(w_i)_i$_\in$_M$ - базис $W$. Пусть $J$ и $M$ дизъюнктны. Тогда, $(u_i)_i$_\in$_J_\sqcup _M$ - базис $V$, (это неочевидно, но док-во простое - лень писАть).
Однозначно (?) определяем линейную форму $\forall i \in M$: \lambda_i : V \to K: \lambda_i (u_j)=0 $\forall j \in J$ и \lambda_i (w_j)=\delta_i_j $\forall j \in M$.
\subseteq Очевидно $\forall i \in M$ $U \subseteq \bigcap_{i \in M} Ker(\lambda_i)$
\supseteq Пусть $v \in Ker(\lambda_i)$ \to $v=w+u$. $\forall i \in M$ $v \in Ker(\lambda_i)$
$u \in Ker(\lambda_i)$ \to $v-u=w \in Ker(\lambda_i)$. Пусть $w = \sum_{j \in M'} a_j w_j$ $M' \subseteq M$ $dim(M')< \infty$ : 0=\lambda_i (w)=\lambda_i (\sum_{j \in M'} a_j w_j) = \sum_{j \in M'} a_j \lambda_i (w_j) = a_i \to $\forall i \in M'$$a_i = 0$ $w=0$ \to $v=u \in U$ \to
$\bigcap_{i \in M} Ker(\lambda_i) \supseteq U$

Собственно вопросов у меня несколько:
1. Смущает, что размерность ВП неоговорена. Поэтому, где именно в док-ве (и нужно ли вообще, по всей видимости - да) применять аксиому выбора (или эквивалентные формулировки)?
2. Могу ли я так произвольно (см.выше) сам определять линейные формы. Может есть другие варианты? Просто "не вижу" ответов на эти вопросы... Помогите пжл!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по алгебре
Сообщение08.03.2006, 00:21 
Аватара пользователя


07/03/06
52
Phoenix писал(а):
Собственно вопросов у меня несколько:
1. Смущает, что размерность ВП неоговорена. Поэтому, где именно в док-ве (и нужно ли вообще, по всей видимости - да) применять аксиому выбора (или эквивалентные формулировки)?
2. Могу ли я так произвольно (см.выше) сам определять линейные формы. Может есть другие варианты? Просто "не вижу" ответов на эти вопросы... Помогите пжл!

— На счётность базиса вроде бы Вы опираетесь в явном виде. Для бесконечномерных векторых пространств с несчётным базисом (напр. пространства обобщённых функций медленного роста Шварца) доказательство вероятно не проходит.   8-)

 Профиль  
                  
 
 ответ
Сообщение08.03.2006, 03:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
286
Все у Вас верно. Аксиома выбора нужна для доказательства существования базиса в векторном пространстве (Вы используете базис в $U$). Коль скоро базис задан, для определения линейных форм аксиома выбора не требуется.

 Профиль  
                  
 
 )))
Сообщение09.03.2006, 21:03 


08/01/06
52
Спасибо - вселили уверенность)))

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group