Интеграл многочлена Лежандра и степенной функции

[van341]

Подскажите, пожалуйста, кто-нибудь знает определение $\int\limits_{-1}^1P_n\left(t\right)t^mdt$? Здесь $P_n\left(t\right)$ -- многочлен Лежандра; $n,m\in\left\{0,1,2,...\right\}$. (Кроме тривиального решения $\int\limits_{-1}^1P_n\left(t\right)t^mdt=0$ при $m<n$).

[Pphantom]

Ну, один факт очевиден: если четность $n$ и $m$ разная, то интеграл равен нулю. А дальше, по-видимому, надо брать его по частям и пользоваться рекуррентной формулой для многочленов.

[Vince Diesel]

С помощью математики вроде так получается:

$$ \frac{(-1)^m \left((-1)^m+(-1)^n\right) (m-1)\text{!!} m\text{!!}}{(m-n)\text{!!} (m+n+1)\text{!!}} $$

Хотя это должно в справочниках где-то быть.

[Markiyan Hirnyk]

Цитата:

Хотя это должно в справочниках где-то быть.

См. Градштейн и Рыжик 7.231.1-2.