2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обобщение теоремы Вейерштрасса-Дедекинда
Сообщение07.08.2005, 23:06 


08/07/05
6
Возможно, тема, затронутая в этом топике, кому-то покажется интересной (или близкой по роду научной деятельности).

ЧТО СДЕЛАНО.
Существует теорема Вейерштрасса-Дедекинда (Дрозд, Кириченко, "Конечномерные алгебры"), которая утверждает, что любая конечномерная коммутативная [благодарю Ситнуса за поправку (см. следующий пост)] полупростая ассоциативная аглебра есть прямой суммой полей. Применительно к действительным алгебрам гиперкомплексных чисел это означает, что любая коммутативная полупростая алгебра гиперкомплексных чисел распадается в прямое произведение алгебр комплексных и действительных чисел.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
Передо мной стоит задача обобщения этой теоремы на некоммутатвный случай. Я пробовал отмести коммутативность,заменив поля телами. Увы, оказалось, что не всякая полупростая алгебра гиперкомплекснх чисел над R есть прямой суммой R, C и H (кватернионов).

Кто-нибудь знает что-то о других попытках обобщить эту теорему на некоммутативный случай? (возможно, с ослаблением некоторых других условий).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.08.2005, 10:32 


17/08/05
17
Цитата:
Существует теорема Вейерштрасса-Дедекинда (Дрозд, Кириченко, "Конечномерные алгебры"), которая утверждает, что любая конечномерная полупростая ассоциативная аглебра есть прямой суммой полей

Это неверно. Точнее, верно если дополнительно предположить коммутативность и наличие единицы.
Вообще же верно, что она является прямой суммой полных матричных алгебр над телами.
Это называется обычно теоремой Веддерберна-Артина и доказательство есть, например, в книге Пирса "Ассоциативные алгебры" п. 3.5

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.08.2005, 11:45 


08/07/05
6
Свинтус писал(а):

Вообще же верно, что она является прямой суммой полных матричных алгебр над телами.
Это называется обычно теоремой Веддерберна-Артина и доказательство есть, например, в книге Пирса "Ассоциативные алгебры" п. 3.5


...а также в книгах:
Херстейн, "Некоммутативные кольца",
Шилов, "Математический анализ (конечномерн. вект. простр.)",
тот же Дрозд, Кириченко...

Благодарю за поправку :). Просто мне необходимо как-то описать с точностью до изоморфизма все полупростые алгебры над R в малых размерностях (в 3 и 4). С коммутативными мне более менне ясно:

n=3
1. Прямая сумма R+R+R (трёхмерная Финслерова алгебра);
2. Прямая сумма R+C

n=4
1.Прямая сумма R+R+R+R (тот же Финслероид);
2. R+R+C
3. C+C

А вот что делать с некоммутативными? Ну, понятно, что например для n=4 сюда входит алгебра кватернионов (проста как тело, а значит и полупроста), и алгебра 2х2 действительных матриц (проста по той же теореме Вед.-Арт.). А ещё что?

Вы не могли бы порекомендовать мне источники (статьи, книги) в которых описывались бы все полупростые (или простые, тогда полупростые получились бы прямым произведением) алгебры над R? Что вообще сделано в этом направлении?

Спасибо всем, кто ответит.[/b]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.08.2005, 16:26 


17/08/05
17
А в чем проблема? Хорошо известно, что над R существуют только три конечномерных тела. R, C и H.
Соответственно, из теоремы Веддерберна-Артина и соображений размерности получаем все алгебры.
В размерности 3 это
R+R+R
К+С
В размерности 4 это
R+R+R+R
R+R+C
Mat_{2x2}(R)
H

Если мы предполагаем, что алгебры имеют единицу то так.
Над случаем, когда единицы нет, я не думал никогда. но он кажется, рассматривается у Бурбаки.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.08.2005, 16:58 


08/07/05
6
Свинтус писал(а):
А в чем проблема? Хорошо известно, что над R существуют только три конечномерных тела. R, C и H.


Теорема Фробениуса.

Свинтус писал(а):
...в размерности 3 это
R+R+R
К+С


Очевидно, К - это R в русской раскадке клавиатуры? :D :D

Свинтус, Ваше утверждение равносильно следующему: конечномерные простые алгебры резмерности n<5 над R изоморфны либо телам (коих есть по теореме Фробениуса 3), либо алгебре действительных 2х2 матриц. Других вариантов нет. Я правильно понял? Если да - то где можно посмотреть доказательство этого утверждения?

Я почему справшиваю. Вот кватернионы, например, изоморфны простой подалгебры 16-мерной действительной простой алгебры 4x4 матриц. Меня смущает то, что кроме кватернионов в этой самой алгебре могут найтись и другие простые подалгебры. Или не могут?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.08.2005, 17:03 


08/07/05
6
...да, Свинтус, и ещё в своём перечне Вы упустили C+C :D

Спасибо за Ваши ответы в этой теме. Вы мне очень помогаете :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.08.2005, 17:54 


17/08/05
17
Вы можете сформулировать теорему Веддерберна-Артина?
Она говорит, что полупростая алгебра есть прямая сумма матричных алгебр над телами, причем этот набор (тела и размерности алгебр) определяется алгеброй с точностью до изоморфизма.

Есть теорема Фробениуса-- о классификации тел над R.
Их всего 3-- R,C,H.

Теперь смотрим на размерности. Т.е. при размерности 4-- из теоремы В-А простые алгебры это алгебры матриц над телами, а их размерность есть квадрат размера матрицы умноженный на размерность тела.

Соотвестсвенно, необходимо рассмотреть все представления чила 4
в виде a^2*b, где b-- размерность некоторого тела над R. И перебираем. Получаем 2 представления 4=1^2*4-- получаем Mat_{1х1}(H) и 4=2^2*1-- Mat_{2х2}(R).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.08.2005, 21:56 


08/07/05
6
2 Свинтус

Да, извините, действительно не подумал - понял, что сморозил глупость, когда уже послал ответ. Спасибо за ответы ;)

Тема закрыта.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.09.2005, 09:18 
Было написано : Над случаем, когда единицы нет, я не думал никогда. но он кажется, рассматривается у Бурбаки -
Напомню, что артиново полупростое кольцо(без ненулевых нильпотентных идеалов) всегда содержит единицу - например, Джекобсон
Удачи!

  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group