Отрицательный квадрат амплитуды?

[illuminates]

Решил посчитать тут один распад. Амплитуда для него имеет следующий вид (пространство Минковского, сигнатура (+,-,-,-)):
M_{fi}=\,\varepsilon^{\sigma\lambda\rho}_{0} \,q'_{\sigma} q_{\lambda} e^{*}_{h,\rho}

где q_{\sigma}' и q_{\lambda} - это четыре-импульсы, а e^{*}_{h,\rho} - вектор поляризации (вообще говоря комплексная величина, h - это не лоренцовский индекс, а индекс поляризации)

Рассмотри величину (вроде модуль я правильно раскрыл то?):
\left\vert M_{fi}\right\vert^2= \varepsilon^{\sigma\lambda\rho}_{0} \,q'_{\sigma}q_{\lambda}e^{*}_{h,\rho'}(q'')\,\varepsilon^{\sigma'\lambda'\rho'}_{0} \,q'_{\sigma'} q_{\lambda'}e^{}_{h',\rho'}

Пользуясь тем что $\(e^{*}_{h,\rho}e^{}_{h',\rho'}=g_{hh'}g_{\rho\rho '}\)$ (такое определение даётся во многих книгах что я смотрел) перепишем выражение как

\left\vert M_{fi}\right\vert^2=\varepsilon^{\sigma\lambda\rho}_{0} \,q'_{\sigma}q_{\lambda}\,\varepsilon^{\sigma'\lambda'}_{0\quad\rho } \,q'_{\sigma'} q_{\lambda'}$

Для дальнейших вычислений пожонглируем индексами:
$\left\vert M_{fi}\right\vert^2=\varepsilon^{\;\tau\sigma\lambda\rho} \,g_{0\tau}q'_{\sigma}q_{\lambda}\,\varepsilon_{0\alpha\beta\rho } \,g^{\sigma'\alpha}g^{\lambda'\beta}q'_{\sigma'} q_{\lambda'}$

Чтобы это выражение возвести в квадрат можно воспользоваться тем что в пространстве Минковского (в евклиде был бы не минус, а плюс):
$ \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}\varepsilon_{\rho\sigma\theta\delta}=-\delta_{\rho\sigma\theta }^{\alpha\beta\gamma}

Таким образом необходимо вычислить:
\left\vert M_{fi}\right\vert^2=-\delta_{0\alpha\beta }^{\tau\sigma\lambda}q'_{\sigma}q_{\lambda}\, q'_{\sigma'} q_{\lambda'}g_{0\tau}g^{\sigma'\alpha}g^{\lambda'\beta} $

Ответ таков:
$\(\left\vert M_{fi}\right\vert^2=-\left[ g_{00}q'^{\sigma}q^{\lambda}\, q'_{\sigma} q_{\lambda} -g_{00}q'^{\sigma}q^{\lambda}\, q'_{\lambda} q_{\sigma} -q'^{0}q^{\lambda}\, q'_{0} q_{\lambda}+2q'^{0}q^{\lambda}\, q'_{\lambda} q_{0}-q'^{\sigma}q^{0}\, q'_{\sigma} q_{0}\right]\) $

Этот ответ преобразовывается к виду (если вспомнить то, что квадрат четыре импульса равен квадрату массы):
$\left\vert M_{fi}\right\vert^2=-\left\vert \vec q \,\right\vert^{2}\left\vert \vec q\,' \right\vert^{2}\sin^{2}\!\theta$

В общем где-то я серьезно промахнулся. Был бы очень благодарен если кто-нибудь подсказал где может скрываться ошибка. Как вы наверное догадались некоторые промежуточные выкладки я пропустил, но готов написать все промежуточные подробности если требуется.

[Cos(x-pi/2)]

illuminates в сообщении #1264891 писал(а):

Пользуясь тем что $\(e^{*}_{h,\rho}e^{}_{h',\rho'}=g_{hh'}g_{\rho\rho '}\)$ (такое определение даётся во многих книгах что я смотрел)

Наверное, что-то не так здесь. Когда Вы умножаете $M_{fi}$ на комплексно сопряжённое выражение, то номер поляризации $h$ не приобретает штриха. Если затем Вы суммируете $|M_{fi}|^2$ по $h,$ то должно получиться что-то вроде

$\sum \limits_he^{*}_{h,\rho}e^{}_{h,\rho'}=-g_{\rho\rho '}+... \,$

где слагаемое $...$ зависит от того, массивное или безмассовое рассматривается векторное поле. (ИМХО; может быть я и не прав.)