2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Векторное поле на кольце
Сообщение07.11.2017, 12:16 


09/12/16
146
Задано векторное поле на границе кольца (без особых точек). Доказать, что оно может быть продолжено до векторного поля на всем кольце без особых точек тогда и только тогда, когда индексы вдоль обеих граничных окружностей равны.

Индекс поля вдоль кривой - степень гауссова отображения, то есть каждый вектор на кривой сношу в центр окружности и смотрю сколько кругов будет пройдено.
Ещё знаю, что индекс векторного поля равен сумме индексов особых точек. И равен эйлеровой характеристике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное поле на колце
Сообщение07.11.2017, 15:36 


15/04/12
162
Последнее тут кажется ни при чем, а можно так попробовать. Разрежем кольцо на концентрические окружности. Если особых точек нет, то у каждой окружности корректно определен индекс, который целое число и непрерывно зависит от окружности. Отсюда все следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное поле на колце
Сообщение07.11.2017, 16:09 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Попробуйте построить гомотопию для векторных полей на обеих частях границы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное поле на кольце
Сообщение07.11.2017, 23:53 


09/12/16
146
CptPwnage
Спасибо! Но это в одну сторону. А как продолжить поле в случае равных индексов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное поле на кольце
Сообщение08.11.2017, 20:48 


15/04/12
162
Nickspa

Думаю можно так. Будем считать что эти поля отнормированы на норму $1$ в каждой точке. Раз у полей на границах индексы равны, то они в частности гомотопны. Возьмем гомотопию которое переводит поле с внутренней окружности в поле на внешней. Продлим поле с внутренней окружности на все кольцо вдоль радиусов (на каждом радиусе поле одинаково). Продлим гомотопию $\varphi$ на все кольцо чтобы на внутренней окружности она была тождественным отображением, то есть гомотопия на внутренней окружности радиуса $R_0$ вида $id + \lambda (\varphi - id)$, где $0 \leq \lambda \leq 1$ соответсвует пробеганию от внутренней до внешней окружности ($\lambda = \frac{R_0 - r}{R-r}$, где $r$ и $R$ радиусы внутренней и внешней окружности).Заметим что $ v + \lambda (\varphi(v) - v) = 0$ не имеет решений, т.к. мы отнормировали все на $1$ и условие вида $v = \frac{-\lambda}{1 - \lambda} \varphi(v)$ не может выполниться, так что при такой гомотопии вектора не занулятся. Запускаем ее, поле полученной в конце и будет искомым (и нигде не $0$ по доказанному). Если они не нормированы на $1$ изначально, сначала нормируем, запускаем этот алгоритм, а потом восстанавливаем нормировку линейно продолжая ее внутрь кольца вдоль радиусов(с внутренней окружности на внешнюю).

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное поле на кольце
Сообщение08.11.2017, 21:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Если короче, то кольцо можно естественно отождествить с $S^1\times [0,1]$, а векторное поле на кольце -- с отображением из $S^1\times [0,1]$ в $\mathbb R^2$. Если мы знаем, что два поля на окружности гомотопны в классе ненулевых векторных полей, то гомотопия между ними просто и будет нужным векторным полем на кольце.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group