2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Использование свойств действительных чисел
Сообщение08.11.2017, 09:29 


30/01/17
245
Из Зорича(Пример 20, стр. 157) "...Остается заметить, что при $x \geq 1$ $(1+\frac{1}{[x]+1})^{[x]} < (1+\frac{1}{x})^x < (1+\frac{1}{[x]})^{[x]+1}$..." Утверждение не доказано, но в главе о свойствах действительных чисел заложена основа для его доказательства. Для меня не очевидно как доказать это утверждение, все что я могу сделать "в уме" - это рассуждение "знаменатель первой дроби положительный и самый большой, значит дробь самая маленькая, значит первое выражение в скобках самое маленькое среди других выражений в скобках, оно не меньше одного и его возводят в степень, которая больше одного, но меньше других степеней, значит результат самый маленький и т.д." Должны ли при виде такого выражения в голове всплывать аксиомы и их следствия из которых оно следует? Как такие выражения видит знающий человек? Как такое выражение должен воспринимать человек на моем этапе обучения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ. Прошу проверить
Сообщение08.11.2017, 09:54 


20/03/14
12041
Это не самая удачная идея - свалить все проблемы в одну кучу, без какой-либо их систематизации. Думаю, стоит под каждую более-менее крупную заводить отдельную тему.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.11.2017, 09:56 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше.
Приведите попытки решения там, где это в принципе возможно.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.11.2017, 12:13 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование свойств действительных чисел
Сообщение08.11.2017, 14:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ivan_B в сообщении #1263325 писал(а):
Должны ли при виде такого выражения в голове всплывать аксиомы и их следствия из которых оно следует?

Не должны, иначе выйдет не доказательство, а сороконожка. Тем более что сам Зорич адресовал свой учебник отнюдь не стерильным математикам. Другое дело, что оформил он доказательство не совсем удачно; надо было отталкиваться от понятия предела в смысле Гейне. Примерно так.

Пусть $x_k\to+\infty$; обозначим $n_k=[x_k]$, тогда и $n_k\to\infty$ и, следовательно, $\left(1+\frac1{n_k}\right)^{n_k}\to e$ (переход к этому утверждению от стандартного $\left(1+\frac1{n}\right)^{n}\to e$ -- одна из базовых теорем для пределов последовательностей). Остаётся заметить, что $$n_k\leqslant x_k<n_k+1,$$ откуда $$1+\frac1{n_k+1}<1+\frac1{x_k}\leqslant1+\frac1{n_k},$$ откуда $$\left(1+\frac1{n_k+1}\right)^{n_k}\leqslant\left(1+\frac1{x_k}\right)^{x_k}\leqslant\left(1+\frac1{n_k}\right)^{n_k+1}.$$ Откуда практически мгновенно $\left(1+\frac1{x_k}\right)^{x_k}\to e$ по теореме о двух милиционерах, ч.т.д.

-- Ср ноя 08, 2017 15:53:19 --

А, да, я, видимо, не на тот вопрос отвечал. Насчёт аксиом. Они тут на данный момент уже глубоко позади, а вот что подразумевается -- так это наличие понятия степени с произвольным вещественным показателем и монотонность этой степени. Это -- ни разу не аксиома; это -- довольно серьёзная теорема (вытекающая, естественно, из аксиом, и вытекающая довольно долго). На данный момент эта теорема, разумеется, уже должна быть (лень проверять, не зевнул ли её Зорич).

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование свойств действительных чисел
Сообщение08.11.2017, 16:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Проверил. Зорич тут достаточно честен: в том же параграфе 2 той же главы III есть пример 10, где достаточно аккуратно вводится понятие показательной функции. Занудно вводится, но тут без того или иного занудства в любом случае не обойтись.

Правда, про монотонности он, кажется, ничего в этом месте не говорит, считая это очевидным. На самом деле это вовсе не очевидно изначально -- это надо доказывать. Но тут проявляется некий общий методологический дефект его учебника.

Зорич совершенно правильно ориентируется на то, что читатели уже имеют какие-то интуитивные представления об элементарных функциях и что его задача -- лишь придать этим представлениям более точный математический смысл. Однако он совершенно не прав, проделывая эту работу до введения понятия непрерывности. Между тем какая разница, в какой именно момент наводить марафет, если интуитивные представления уже есть. Излишняя же спешка заметно усложняет изложение.

В частности, понятие корня у него слишком глубоко закопано -- где-то в задачках к параграфу 2 главы II. Задачкой это делать нехорошо потому, что, с одной стороны, это вопрос довольно принципиальный; с другой -- потому, что он на тот момент совсем не тривиален; с третьей -- потому, что существование корня является уже вполне тривиальным следствием последующей теоремы о функции, обратной к непрерывной монотонной. И аналогично: монотонность показательной функции с рациональных показателей тупо распространяется на иррациональные благодаря непрерывности; до введения же понятия непрерывности это -- некоторая морока, и неудивительно, что Зорич с этим не связывается.

И, кстати, в том же примере 20: текст про логарифмы раздут совершенно необоснованно ровно потому, что на тот момент у него ещё нет теоремы об обратной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Использование свойств действительных чисел
Сообщение08.11.2017, 19:06 


30/01/17
245
ewert в сообщении #1263432 писал(а):
Насчёт аксиом. Они тут на данный момент уже глубоко позади, а вот что подразумевается -- так это наличие понятия степени с произвольным вещественным показателем и монотонность этой степени.

Спасибо! Это то, что мне было нужно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group