Метризуемое пространство и ограниченная метрика.

[NRX]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста разобраться со следующими задачками:

1) Доказать, что в любом метризуемом пространстве можно ввести ограниченную метрику, согласованную с ее топологией.
2) Любое ли хаусдорфово пространство является метрическим пространством?

Что я имею по первой задаче:
Определение метризуемого пространства:
Топологическое пространство называется метризуемым, если его топологию можно задать с помощью какой-либо метрики

проблема заключается в том, что в задаче вопрос про ограниченную метрику. Что такое ограниченная метрика?
Не понятно как данное условие влияет на результат решения.

Вторая задача:
Мне не понятно с какой стороны подойти к доказательству.

Пусть нам задано $T_{2}$ пространство (хаусдорфово) T. Это означает, что две любые точки этого пространства обладают не пересекающимися окрестностями ($\forall x,y \in T \exists O(x),O(y) : O(x) \cap O(y) = \emptyset$)...

Как мне доказать или опровергнуть что любое хаусдофово пространство является метрическим? (Является или нет - этого я не знаю)

Можете еще, пожалуйста, привести пример топологического пространства на котором можно ввести метрику.

[Mikhail_K]

NRX в сообщении #1262483 писал(а):

Можете еще, пожалуйста, привести топологическое пространство на котором можно ввести метрику.

Ну, Вы проходили метрические пространства? Знаете примеры метрических пространств? Знаете, как вводится топология на метрическом пространстве? То есть, что любое метрическое пространство является топологическим?

NRX в сообщении #1262483 писал(а):

Что такое ограниченная метрика?

Ограниченная - значит принимающая ограниченное множество значений. То есть расстояние между любыми двумя точками в такой метрике не больше некоторого значения $M$. Например, не больше единицы.

NRX в сообщении #1262483 писал(а):

1) Доказать, что в любом метризуемом пространстве можно ввести ограниченную метрику, согласованную с ее топологией.
Что я имею по первой задаче:
Определение метризуемого пространства:
Топологическое пространство называется метризуемым, если его топологию можно задать с помощью какой-либо метрики
проблема заключается в том, что в задаче вопрос про ограниченную метрику.

Итак, какую-то метрику $\rho(x,y)$ на метризуемом пространстве ввести можно. Проблема в том, что она не обязательно ограниченная. Значит, надо как-то сконструировать из неё ограниченную метрику, но чтобы она по-прежнему была согласована с топологией.
1) Ответьте: что значит "метрика согласована с топологией"?
Когда ответите, постарайтесь понять, что вот на эту вот "согласованность с топологией" не влияют слишком большие расстояния, а влияют только малые, близкие к нулю. Так что можно попробовать изменить метрику, заменив, например, все расстояния бОльшие единицы на что-то другое (это, конечно, только один из возможных способов).
Тут надо будет доказать: 2) что после такого изменения метрика останется метрикой, т.е. будут выполнены аксиомы метрики (кстати, какие?) и 3) что согласованность с топологией и вправду никуда не пропала.

[NRX]

Mikhail_K писал(а):

что значит "метрика согласована с топологией"?

Правильно я понимаю что это означает следующие:
Согласованность метрики с топологией означает, что с помощью метрики определяется база топологии - совокупность открытых шаров. Пересекая и объединяя которые, можно получить заданную топологию на данном множестве.

[NRX]

Проверьте, правильны ли рассуждения.

И так, метрика $\rho(x,y)$ согласована с топологией $\tau$ - это означает то, что с помощью метрики $\rho(x,y)$ можно задать базу топологии $\tau$.
Пусть задано метризуемое топологическое пространство $T(X,\tau)$.
Так как оно метризуемо, то введем некоторую метрику $\rho(x,y)$ согласованную с топологией $\tau$. Тогда с помощью метрики $\rho(x,y)$ мы можем задать базу $\xi$ топологии $\tau$. Поскольку база это совокупность открытых шаров, тогда пусть радиус самого большого шара равен M ($(\rho(x_{0},y)<M) \in \xi$)
Мы можем подобрать некоторую метрику $k(x,y)$, которая будет иметь область своих значений на интервале [0, M). Это означает, то что метрика $k(x,y)$ ограничена и с помощью нее мы можем задать ту же базу $\xi$. Таким образом данная метрика является согласованной с топологией $\tau$, так как с помощью этой метрики можно задать базу топологии $\tau$.
На любом метризуемом топологическом пространстве мы можем ввести ограниченную метрику согласованную с ее топологией.

[Mikhail_K]

NRX в сообщении #1262534 писал(а):

Проверьте, правильны ли рассуждения.

Это вообще не рассуждения, а просто "попытка написать что-то правдоподобное". Вы сами не видите, что логика хромает?

NRX в сообщении #1262534 писал(а):

Поскольку база это совокупность открытых шаров, тогда пусть радиус самого большого шара равен M

Вообще-то, берутся шары произвольных радиусов, то есть сколь угодно больших. С чего Вы взяли, что существует "самый большой шар" (что бы это ни значило)?

NRX в сообщении #1262534 писал(а):

Мы можем подобрать некоторую метрику $k(x,y)$, которая будет иметь область своих значений на интервале [0, M).

Почему можем?

NRX в сообщении #1262534 писал(а):

и с помощью нее мы можем задать ту же базу $\xi$.

Почему ту же?

Вам надо придумать явную формулу, по которой метрика $k(x,y)$ выражалась бы через $\rho(x,y)$. Потом доказать, что $k(x,y)$ - действительно метрика (т.е. удовлетворяет аксиомам метрики). Потом доказать, что она действительно согласована с топологией.
Решение здесь даже не начато.

[NRX]

Mikhail_K в сообщении #1262537 писал(а):

Вам надо придумать явную формулу, по которой метрика $k(x,y)$ выражалась бы через $\rho(x,y)$

Я не очень пойму,что имеется в виду под явной формулой. Нам не задана метрика $\rho(x,y)$. Так же как и топологическое пространство. Известно только что есть метризуемость.

Mikhail_K в сообщении #1262537 писал(а):

Вообще-то, берутся шары произвольных радиусов, то есть сколь угодно больших. С чего Вы взяли, что существует "самый большой шар" (что бы это ни значило)?

Ясно, спасибо. Это мое непонимание определений

Хотя бы правильно ли я интерпретирую согласованность метрики с топологией?

NRX в сообщении #1262534 писал(а):

И так, метрика $\rho(x,y)$ согласована с топологией $\tau$ - это означает то, что с помощью метрики $\rho(x,y)$ можно задать базу топологии $\tau$.)

[Someone]

NRX в сообщении #1262541 писал(а):

Хотя бы правильно ли я интерпретирую согласованность метрики с топологией?

То, что Вы пишете — это некие общие слова (сродни благим пожеланиям). Здесь непонятно, что конкретно надо будет проверять, когда Вы определите новую (ограниченную) метрику.