Порождение борелевской сигма алгебры

[ioleg19029700]

Мне нужно показать, что борелевская сигма алгебра порождается всеми открытыми подмножествами вещественной прямой.
Я знаю, что борелевская сигма алгебра порождается всеми интервалами вида $(a,b): a<b$. То есть мне нужно доказать двустороннее вложение для множеств $\sigma(K_1),\sigma(K_2)$, где $K_1$ - множество всех интервалов вида $(a,b): a<b$, $K_2$ - множество всех открытых подмножеств вещественной прямой.
Так как $K_1\subset K_2\subset \sigma(K_2)$, то $\sigma(K_1)\subset\sigma(K_2)$. Но как показать $\sigma(K_2)\subset\sigma(K_1)$?

[Mikhail_K]

А Вы можете "породить" из интервалов произвольные открытые множества? Тогда и все которые "порождаются" из открытых, будут порождаться и из интервалов.

[ioleg19029700]

Mikhail_K, то есть вы говорите, что из $K_2\subset \sigma(K_1)$ следует $\sigma(K_1)\subset \sigma(K_2)$? То есть любое открытое множество это счетное объединения интервалов вида $(a,b), a<b$?

[Mikhail_K]

ioleg19029700 в сообщении #1262451 писал(а):

Mikhail_K, то есть вы говорите, что из $K_2\subset \sigma(K_1)$ следует $\sigma(K_1)\subset \sigma(K_2)$?

Я говорю, что из $K_2\subset\sigma(K_1)$ следует $\sigma(K_2)\subset\sigma(K_1)$ (Вас ведь интересует именно это включение, обратное Вы установили). Понятно ли почему?

ioleg19029700 в сообщении #1262451 писал(а):

То есть любое открытое множество это счетное объединения интервалов вида $(a,b), a<b$?

Да. Такая теорема есть.

[ioleg19029700]

Mikhail_K, как раз это и непонятно. Почему из $K_2\subset\sigma(K_1)\Rightarrow \sigma(K_2)\subset\sigma(K_1)$. Не понятно, потому что изначально $K_2$ как бы "больше" $K_1$, так почему сигма алгебра порожденная "большим" множеством точно будет подмножеством сигма алгебры порожденной "меньшим" множеством. Тут под "больше и меньше" я имею в виду то, что очевидно $K_1\subset K_2$, но $K_2\not\subset K_1$, так как в самом $K_1$ нет объединений интервалов, там только интервалы

[Mikhail_K]

Ну, напишите определение сигма-алгебры, порождённой каким-то семейством множеств. Что такое $\sigma(K)$?

[ioleg19029700]

Mikhail_K, сигма алгебра, порожденная множеством $K$ - это минимальная сигма алгебра, содержащее множество $K$. Получается, что $\sigma(K)$ - это сигма алгебра, то есть множество, содержащее все дополнения к элементам $K$ и их счетные объединения, пересечения во всевозможных комбинациях. При этом это множество замкнуто относительно этих операций

[Mikhail_K]

ioleg19029700 в сообщении #1262467 писал(а):

Получается, что $\sigma(K)$ - это сигма алгебра, то есть множество, содержащее все дополнения к элементам $K$ и их счетные объединения, пересечения во всевозможных комбинациях.

В каком-то смысле так, но надо понимать, что этих "взятий счётных объединений" и "взятий счётных пересечений" может быть не одно и не два, а бесконечное - счётное - количество, прежде чем мы получим какое-то множество из $\sigma(K)$ из множеств, содержащихся в системе $K$.

Итак, дано: $K_2\subset\sigma(K_1)$. Согласно данному Вами определению, это значит, что любая сигма-алгебра, содержащая все множества из $K_1$, обязательно будет содержать все множества из $K_2$ (понятна ли такая формулировка?)
Доказать: $\sigma(K_2)\subset\sigma(K_1)$.
Сумеете?

[ioleg19029700]

Mikhail_K формулировка понятна. Так как любая сигма-алгебра, содержащая все множества из $K_1$, обязательно будет содержать все множества из $K_2$, то она будет содержать и все их всевозможные комбинации. Поэтому взяв, произвольный элемент из $\sigma(K_2)$ мы автоматически знаем, что он есть и в $\sigma(K_1)$. Так?

[Mikhail_K]

Ну да. Но лучше не использовать нестрогое слово "комбинации" (потому что это могут быть очень сложные комбинации), а использовать приведённую мной формулировку. Любая сигма-алгебра, содержащая все множества из $K_1$, содержит все множества из $K_2$; любая сигма-алгебра, содержащая все множества из $K_2$, содержит все множества из $\sigma(K_2)$; значит, любая сигма-алгебра, содержащая все множества из $K_1$, содержит все множества из $\sigma(K_2)$; значит, $\sigma(K_2)\subset\sigma(K_1)$.

[ioleg19029700]

Mikhail_K, спасибо за помощь!