Точки перегиба кубики

[demolishka]

Решаю следующую задачу: "Сколько точек перегиба может быть у кубики" (кривой $F(x,y)=0$, где $F$ --- многочлен степени $3$).

Задача из курса анализа, поэтому скорее всего подразумевается, что $F$ удовлетворяет условию теоремы о неявной функции в каждой точке кубики. В этом случае точки перегиба удовлетворяют уравнению

$$G(x,y)=\left(F_{xx}F^{2}_{y}-2F_{xy}F_{x}F_{y}+F_{yy}F^{2}_{x}\right)(x,y)=0.$$

В случае кубики $G(x,y)$ --- многочлен степени не более 5. Таким образом, точки перегиба являются подмножеством решений системы

$$ \begin{cases} F(x,y) = 0 , \\ G(x,y) = 0. \end{cases} $$

Наткнулся на теорему Безу о том, что количество пересечений двух плоских алгебраических кривых равно (с учетом комплексных и бесконечно удаленных пересечений) произведению их степеней. Поэтому с учетом этой теоремы ответ такой, что точек перегиба не более 15-ти.

Собственно вопрос. Можно ли здесь обойтись без теоремы Безу или сказать что-то большее про точки перегиба?