2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Преобразование Лежандра
Сообщение01.11.2017, 10:15 


01/11/17
54
Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, применить преобразование Лежандра для $\frac{y^2}{y^2+x^2}$.

Продифференцировав сначала по x, затем по y, получим, что переменные двойственной функции - например, $\xi$ и $\eta$ - соответственно равны частным производным по x и y.

$\xi=-2xy/(x^2+y^2)$
$\eta=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)$

В общем, выразить отсюда x и y с целью их дальнейшего использования для вычисления двойственной функции, не представляет труда, но y получается напичканный корнями, хотя препод уверяет, что там все аккуратно сокращается и двойственная функция в итоге принимает почти такой же вид, что и искомая.

Можно также заметить, что $\xi^2+\eta^2=1/(x^2+y^2)^2$, откуда следует
$\xi=-2xy(\xi^2+\eta^2)$
$\eta=(x^2-y^2)(\xi^2+\eta^2)$
И, из первого уравнения,
$x=-\xi/2y(\xi^2+\eta^2)$
Тогда, из второго уравнения,
$y^2=(\xi^2-4y^2\eta(\xi^2+\eta^2))/(4y^2(\xi^2+\eta^2)^2)$

И это, по сути, верно, но потом корни и прочее. Возможно, где-то ошибаюсь. Наставьте студента на путь истинный, пожалуйста :D Заранее всем огромное спасибо.
Кстати, софта по этому преобразованию я не обнаружил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование Лежандра
Сообщение01.11.2017, 12:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
btoom
Лежандр это в смысле $f(x,y) = \tilde{f}(p,q)$?
Ну тогда все правильно Ваш преподаватель говорит, никаких корней.
А вот что у Вас такое $\xi$ и $\eta$, неведомо :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование Лежандра
Сообщение01.11.2017, 13:41 


01/11/17
54
Я просто взял в качестве новых переменных новой (двойственной функции) функции кси и эта.
Так. В каком месте я свернул не в ту степь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование Лежандра
Сообщение01.11.2017, 14:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
btoom в сообщении #1261096 писал(а):
… частным производным по x и y.

$\xi=-2xy/(x^2+y^2)$
$\eta=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)$
А какие-то странные у Вас частные производные…

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование Лежандра
Сообщение01.11.2017, 16:20 


01/11/17
54
Someone в сообщении #1261203 писал(а):
btoom в сообщении #1261096 писал(а):
… частным производным по x и y.

$\xi=-2xy/(x^2+y^2)$
$\eta=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)$
А какие-то странные у Вас частные производные…

Да, вы правы, квадрата не хватает. Спешка.

$\xi=-2xy/(x^2+y^2)^2$
$\eta=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование Лежандра
Сообщение01.11.2017, 16:59 


16/08/17
117
btoom в сообщении #1261275 писал(а):
Да, вы правы, квадрата не хватает. Спешка.

$\xi=-2xy/(x^2+y^2)^2$
$\eta=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2$

Всё равно, чего-то не то...

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование Лежандра
Сообщение01.11.2017, 19:34 


01/11/17
54
teleglaz в сообщении #1261298 писал(а):
btoom в сообщении #1261275 писал(а):
Да, вы правы, квадрата не хватает. Спешка.

$\xi=-2xy/(x^2+y^2)^2$
$\eta=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2$

Всё равно, чего-то не то...


На моей стороне высокие технологии :D
https://www.wolframalpha.com/input/?i=d ... E2%2By%5E2)

Ну и по правилувремен первого курса все так.

Возможно, я само правило преобразования не совсем верно понял.
Новая функция новых переменных = -старая в новых переменных + старая переменная на новую
$W(\xi, \eta)=-U+x\xi+y\eta$
Чтобы получить новые переменные кси и эта, мы продифференцируем всю эту запись сначала по x, затем по y. Получим (в нашем случае), что
$\xi=-2xy(\xi^2+\eta^2)$
$\eta=(x^2-y^2)(\xi^2+\eta^2)$
После этого мы должны переписать искомую функцию в новых переменных
$U=u(x(\xi),y(\eta))$
и затем произвести нужные операции и на выходе получить двойственную функцию.
Очевидно, что в случае одной переменной все довольно лайтово и позитивно.Например. А вот дальше как-то сложнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование Лежандра
Сообщение01.11.2017, 19:58 


16/08/17
117
btoom в сообщении #1261096 писал(а):
для $\frac{y^2}{y^2+x^2}$

У вас условие тогда другое было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование Лежандра
Сообщение02.11.2017, 07:51 


01/11/17
54
teleglaz в сообщении #1261338 писал(а):
btoom в сообщении #1261096 писал(а):
для $\frac{y^2}{y^2+x^2}$

У вас условие тогда другое было.

К сожалению, не могу отредактировать первый пост. Да, там так:
$\frac{y}{y^2+x^2}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group