Как называются такие примеры и помогают ли они в расчётах?

[azsx]

Признаюсь, я книжку до теоремы Лапласа дочитал и вспомнилось.
Есть, например, такая формула для натурального ряда:
$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=\frac{10(10+1)}{2}$
Логично, что если таких расчётов с плюсами надо будет сделать миллион, то при большом ряде вторая формула будет производительнее, чем первая.
Скажите, пожалуйста.
А есть ли книги или сайты, где все эти формулы одна за другой выложены?
Зачем мне это. Думаю, что если посмотреть какие они бывают, возможно, удастся использовать их в расчётах. Как думаете верная идея или считать как есть, мол гигагерцы компьютера всё вытянут? Вы сами пользуетесь чем нибудь?

[wrest]

azsx в сообщении #1260899 писал(а):

А есть ли книги или сайты, где все эти формулы одна за другой выложены?

Есть справочники по [элементарной] математике, в них есть формулы. Но так чтобы все формулы, одна за другой, это вряд ли.
В конкретном случае приведенной суммы, у неё имеется название -- "Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии".

[Metford]

azsx в сообщении #1260899 писал(а):

Признаюсь, я книжку до теоремы Лапласа дочитал и вспомнилось.

А книжку-то какую?

Можно, например, открыть справочник Маричева, Брычкова и Прудникова (хоть первый том) и посмотреть, сколько там интересных формул по этой теме - значения некоторых конечных сумм.

[arseniiv]

Постановка вопроса, по-моему, совершенно никакая. Имеются в виду только суммы или не только, при чём здесь вообще добавление о расчётах и какие они, а так же добавление о гипотетических людях, которые выбирают

azsx в сообщении #1260899 писал(а):

считать как есть, мол гигагерцы компьютера всё вытянут

(что это за мистические люди такие, по такому описанию тоже не ясно; есть, например, вполне разумный совет воздержаться от преждевременной оптимизации, и вряд ли его нужно как-то защищать).

[azsx]

Metford в сообщении #1260906 писал(а):

А книжку-то какую?

Гмурман теория вероятностей и математическая статистика.

[Korvin]

Бронштейн Семендяев Справочник по математике для инженеров и студентов втузов
Куча интересных и красивых сумм рядов, разложений, интегралов

[Евгений Машеров]

Насколько я могу судить, вопрос относится к промежуточной области меж математикой и программированием, а именно к "оптимизации программ в большом". "Оптимизация в малом", экономия на промежуточных вычислениях, на расположении данных в памяти и т.п. уже в основном удел оптимизирующих компиляторов, и если где и осталась в ручном виде - то для специализированных микропроцессоров. Однако "оптимизация в большом", замена алгоритма на более эффективный, всё ещё актуальна. Один из способов такой оптимизации - аналитическое решение задачи, чтобы вместо многошагового расчёта суммы ряда, интеграла и т.п. считать по более сложной формуле - но однократно. Оправдан ли ручной труд по решению - можно говорить лишь в конкретных случаях, иногда аналитического решения и вовсе нет, а чтобы установить это, нужно потратить силы, и кажется проще тупо считать по простому алгоритму. Это не единственная причина того, что современные ЭВМ при производительности на много порядков выше прежних "тормозят", но одна из них.
Справочников такого рода много, как общего характера (Корн и Корн, скажем), так и специально посвящённых суммам. Нахождение явных выражений для сумм - одна из задач исчисления конечных разностей.
Но меня тут смутила одна деталь. Создаётся впечатление, что для ТС формула суммы арифметической прогрессии нова и неожиданна. Если так - не стоит ли прежде освежить школьный курс? Там она точно давалась (а на кружковом уровне о ней рассказывали классе в пятом, и о том, как её переоткрыл Карлуша Гаусс).

[wrest]

А, ну да. В применении к компьютерным расчетам, надо смотреть в книги в названии которых встречаются слова "Численные методы" и "справочник".