Теория вероятностей

[Nurgali]

Дана задача: имеются три одинаковых урны. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй - 6 белых и 4 черных, в третьей - 5 белых и 5 черных шаров. Наугад выбирается урна из нее наугад выбирается один шар. Выбранный шар оказался белым. Какого вероятность того, что этот шар вынут из второй урны?
Имеется три гипотезы: $H_i$ - шар вынут из $i$ - ой урны. $P(H_1)=P(H_2)=P(H_3)=\frac{1}{3}$ и т.д.

Дана вторая задача: имеется 3 партии деталей для станка, насчитывающих соответственно, 20, 30 и 50 штук. Вероятности того, что деталь из ста проработает заданное время равны соответственное для этих партий 0.85, 0.9, 0.95. Какова вероятность того, что наудачу выбранная деталь проработает заданное время?
В данной задаче тоже имеется три гипотезы: $H_i$ - деталь выбрана из $i$ - ой партии. Тогда $P(H_1)=P(H_2)=P(H_3)=\frac{1}{3}$ или $P(H_1)=\frac{20}{100}$, $P(H_2)=\frac{30}{100}$, $P(H_3)=\frac{50}{100}$?

[gris]

В первой задаче вероятности гипотез определены верно. Обратите внимание: вначале выбирается урна.
Во второй задаче из ста деталей, перемешанных, мы выбираем одну? Или мы вначале выбираем партию, а уже потом в ней деталь? Чувствуете разницу? Эти два случая соответствуют двум приведённым Вами вариантам $P(H_i)$. Вот и решите, какой из них больше подходит условию.

[Nurgali]

gris в сообщении #1252585 писал(а):

В первой задаче вероятности гипотез определены верно. Обратите внимание: вначале выбирается урна.
Во второй задаче из ста деталей, перемешанных, мы выбираем одну? Или мы вначале выбираем партию, а уже потом в ней деталь? Чувствуете разницу? Эти два случая соответствуют двум приведённым Вами вариантам $H_i$.

Спасибо большое за ответ!
А как узнаем, что детали перемешаны?

[gris]

Я так думаю, что слова "деталь из ста" указывают на то, что деталь выбирается наугад из сотни одинаковых на вид В условиях задач зачастую не детализируются все механизмы. Обычно и так понятно, что имеется в виду. Однако, полезно иногда и поковыряться.

[Nurgali]

gris в сообщении #1252589 писал(а):

Я так думаю, что слова "деталь из ста" указывают на то, что деталь выбирается наугад из сотни одинаковых на вид

Спасибо!

-- Пн окт 02, 2017 23:44:56 --

Третья задача: Студет 2 раза извлекает по одному билету из 35, предлагаемых на экзамене. Какого вероятность того, что студент сдаст экзамен, если он подготовил 30 билетов и первый раз вынул неудачный билет?
Пусть $A$ -- первый раз вынут неудачный билет, а $B$ - второй раз вынут удачный билет. Почему недостаточно вычислить $P(B|A)$? Разве $P(B|A)$ -- это не вероятность вытащить второй раз удачный билет (следовательно, вероятность сдать экзамен), при условии, что первый раз вытащил неудачный билет?

[gris]

Вот опять приходится проговаривать ситуацию более чётко: Студент вынул билет из 35. Отложил его и попросил второй билет. Уже известно, что первый билет плохой. И его уже нет в разложенных для выбора. И мы знаем, сколько среди этих 34 билетов хороших и сколько плохих. И для чего нам знать вероятность события, которое уже произошло?
Я имею в виду, что эту условную вероятность можно посчитать по классической формуле.

[Nurgali]

gris в сообщении #1252594 писал(а):

Вот опять приходится проговаривать ситуацию более чётко: Студент вынул билет из 35. Отложил его и попросил второй билет. Уже известно, что первый билет плохой. И его уже нет в разложенных для выбора. И мы знаем, сколько среди этих 34 билетов хороших и сколько плохих. И для чего нам знать вероятность события, которое уже произошло?
Я имею в виду, что эту условную вероятность можно посчитать по классической формуле.

Не совсем понятно, вероятность какого события необходимо вычислить: $P(B|A)$ или $P(AB)$?

[gris]

Иногда преподаватели дают свои задачи с принятыми в данной группе умолчаниями и соглашениями. Иначе пришлось бы оговаривать все подробности. В реальной жизни возможно всё.
Я понимаю, что в этой задаче спрашивается об условной вероятности. То есть: найти вероятность вытягивания удачного второго билета, если первый билет был неудачным.
Возможна и такая трактовка: найти вероятность того, что студент сдаст экзамен со второго билета. Тогда надо находить вероятность пересечения событий.
Можно и так трактовать: студент вслепую вытаскивает два билета. Чему равна вероятность того, что второй билет удачный? Очевидно, пока билета закрыты, разницы между первым и вторым нет. Но вот он открыл первый билет, и теперь для второго билета вероятность изменилась.

[Nurgali]

gris в сообщении #1252955 писал(а):

Иногда преподаватели дают свои задачи с принятыми в данной группе умолчаниями и соглашениями. Иначе пришлось бы оговаривать все подробности. В реальной жизни возможно всё.
Я понимаю, что в этой задаче спрашивается об условной вероятности. То есть: найти вероятность вытягивания удачного второго билета, если первый билет был неудачным.
Возможна и такая трактовка: найти вероятность того, что студент сдаст экзамен со второго билета. Тогда надо находить вероятность пересечения событий.
Можно и так трактовать: студент вслепую вытаскивает два билета. Чему равна вероятность того, что второй билет удачный? Очевидно, пока билета закрыты, разницы между первым и вторым нет. Но вот он открыл первый билет, и теперь для второго билета вероятность изменилась.

Спасибо большое!

[Rinat Mavlyaviev]

Nurgali в сообщении #1252573 писал(а):

Дана задача: имеются три одинаковых урны. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй - 6 белых и 4 черных, в третьей - 5 белых и 5 черных шаров. Наугад выбирается урна из нее наугад выбирается один шар. Выбранный шар оказался белым. Какого вероятность того, что этот шар вынут из второй урны?
Имеется три гипотезы: $H_i$ - шар вынут из $i$ - ой урны. $P(H_1)=P(H_2)=P(H_3)=\frac{1}{3}$ и т.д.

Дана вторая задача: имеется 3 партии деталей для станка, насчитывающих соответственно, 20, 30 и 50 штук. Вероятности того, что деталь из ста проработает заданное время равны соответственное для этих партий 0.85, 0.9, 0.95. Какова вероятность того, что наудачу выбранная деталь проработает заданное время?
В данной задаче тоже имеется три гипотезы: $H_i$ - деталь выбрана из $i$ - ой партии. Тогда $P(H_1)=P(H_2)=P(H_3)=\frac{1}{3}$ или $P(H_1)=\frac{20}{100}$, $P(H_2)=\frac{30}{100}$, $P(H_3)=\frac{50}{100}$?

1) Да в первой задаче всё правильно. Именно на её основе позволю себе небольшой комментарий для дальнейшего развития мысли по второй задаче. Если, например, написано: "в третей урне 10 белых шаров", то информация о количестве шаров оказалась бы избыточной. Формально, студент решающий задачу находит условную вероятность события A--- выбран белый шар, как $P(A\vert{H_{3}})=\frac{10}{10}=1$. Опыт показывает, что некоторые при этой "вырожденной" ситуации даже теряются. Понятно, что автор сборника задач мог написать "в третей урне все шары белые". Тогда можно оформить решение: "$P(A\vert{H_{3}})=\frac{m}{m}=1$, где $m$ --- количество шаров в третьей урне". Писать ли сразу $P(A\vert{H_{3}})=1$", исходя из достоверности события, зависит скорее от придирчивости преподавателя. Считаю, что писать дроби смысл есть. В этом случае у студента не сбивается алгоритм.

2) Принятие равноправных гипотез во второй задаче, предполагает не перемешанную интерпретацию. Введя в рассмотрение событие: $B$ --- деталь проработает заданное время, получим $P(B\vert{H_{1}})=0.85$ и остальные аналогично. Только мы не вычисляли эту условную вероятность, а она была дана. Информация о количествах в урнах избыточна. С таким же успехом можно решить задачу, начинающуюся словами: "Имеется три детали (не партии, а всего три штуки). Вероятность проработать заданное время у первой детали 0.85, у второй и третей 0.9 и 0.95, соответственно."

Решение:

$P(B)=P(B\vert{H_{1}})\cdot\,P(H_{1})+P(B\vert{H_{2}})\cdot\,P(H_{2})+P(B\vert{H_{3}})\cdot\,P(H_{3})=$
$=0.85\cdot\frac{1}{3}+0.9\cdot\frac{1}{3}+0.95\cdot\frac{1}{3}=\frac{0.85+0.9+0.95}{3}=0.9$

То есть практически нашли среднюю из данных трёх вероятностей.

3) Рассмотрим вспомогательную задачу.
"Имеется 100 урн. 20 из низ получены от первого завода. И в каждой из них по 17 белых и по 3 чёрных шара. 30 и 50 урн прислали второй и третий завод, соответственно. В урнах от второго завода по 9 белых и по 1-му чёрному шару. В урнах третьего завода по 57 белых и по 3 чёрных шара. Какова вероятность того, что из наудачу выбранной урны наугад выбранный шар окажется белым?"

Всё по алгоритму $P(A\vert{H_{1}})=\frac{17}{20}=0.85\ \ $, $\,P(A\vert{H_{2}})=\frac{9}{10}=0.9\ \ $, $\,P(A\vert{H_{3}})=\frac{57}{60}=0.95$.

Далее элементарно $P(H_{1})=\frac{20}{100}\ \ $, $\,P(H_{2})=\frac{30}{100}\ \ $,$\,P(H_{3})=\frac{50}{100}\ \ $ и задача легко решается по формуле полной вероятности.

4) Во второй задаче ключевыми являются слова: "из ста". Придираясь к словам как юристы, заключаем, что детали перемешаны. И вынуждены принять $P(H_{1})=\frac{20}{100}$,
$P(H_{2})=\frac{30}{100}$, $P(H_{3})=\frac{50}{100}$. Только, если проводить аналогию с задачей пункта 3), то в роли коробок теперь ужЕ выступают детали! А шаров в них нет. Можно конечно придумать содержание в деталях количествА молекул из драгоценных и обычных металлов или что-то другое. Но наверно лучше не усложнять. Ведь в самой задаче об этом информации нет. И так же как юристы,без домыслов типа $P(A\vert{H_{1}})=\frac{17}{20}$ пишем "сухие" $P(A\vert{H_{1}})=0.85$. Остальные аналогично.