2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решение уравнения теплопроводности
Сообщение29.10.2017, 02:23 


05/12/13
26
Как можно решить уравнение теплопроводности с данными начальными условиями:
$$
u_t = u_{xx}, \qquad u|_{t=0} = x e^{-x^2}
$$?

Я понимаю, что, в принципе, можно было бы искать решение в виде ряда по $t$ с коэффициентами, являющимися функциями от $x$. Но здесь неприятные функции получаются. Кажется, что должен быть способ отличный от этого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения теплопроводности
Сообщение29.10.2017, 04:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Про функцию Грина что-нибудь слышали? С её помощью ответ пишется в одну строчку. (У Вас, как я понял, задача на полупрямой).

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения теплопроводности
Сообщение29.10.2017, 04:38 


05/12/13
26
Ну так. Слышал. Есть подозрение, что подразумевается поиск решения без функций Грина (это задача из задачника и не из окрестности функций Грина).

Если под полупрямой подразумевается, что ищется решение при $t > 0$, то да. $x$ всю прямую пробегает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения теплопроводности
Сообщение29.10.2017, 04:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Хм. Вам решить уравнение нужно или метод продемонстрировать?..
Есть ещё вариант на любителя: преобразование Лапласа плюс преобразование Фурье. А потом выкручивать всё обратно, решив получившееся элементарное уравнение. Хороший рецепт, как убить половину вечера, если делать это всё в первый раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения теплопроводности
Сообщение29.10.2017, 04:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Metford в сообщении #1260072 писал(а):
преобразование Лапласа плюс преобразование Фурье.
Если на всей прямой (по $x$), то без Лапласа можно обойтись. Делается Фурье по $x$, решается получившееся ОДУ, проводится обратное преобразование. Все интегралы берутся, уравнение решается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения теплопроводности
Сообщение29.10.2017, 05:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
amon в сообщении #1260074 писал(а):
Если на всей прямой (по $x$), то без Лапласа можно обойтись.

Конечно. Но пусть у ТС будет выбор. Тем более пока неясно, в каком же разделе задачника находится это уравнение...

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения теплопроводности
Сообщение29.10.2017, 05:32 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Функция Грина — это, фактически, готовое решение для начального условия вида $u(x, t_0)=e^{-x^2}$. Добившись подбором констант совпадения, продифференцируем функцию по $x$. Полученная функция тоже будет решением уравнения теплопроводности, а при $t_0$ будет равна, с точностью до постоянного множителя, чему надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения теплопроводности
Сообщение29.10.2017, 05:40 


05/12/13
26
Metford в сообщении #1260072 писал(а):
Вам решить уравнение нужно или метод продемонстрировать?..

Второе. Желательно, наиболее элементарный.

amon в сообщении #1260074 писал(а):
Делается Фурье по $x$, решается получившееся ОДУ, проводится обратное преобразование. Все интегралы берутся, уравнение решается.

А вот это мысль! По идее, для начальных условий, хорошо поддающихся преобразованиям Фурье: экспонент, синусов, должно хорошо работать.

svv, вашу мысль не понял. В частности, в каком смысле, функция Грина это, крубо говоря, решение для НУ типа $e^{-x^2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения теплопроводности
Сообщение29.10.2017, 05:44 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
AVV в сообщении #1260081 писал(а):
Второе. Желательно, наиболее элементарный.
В таком случае, мой способ не подойдёт — он хоть и совершенно элементарный, но заточен под конкретное начальное условие, то есть это не общий метод.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gg322


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group