2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Принадлежит ли число линейной оболочке
Сообщение25.10.2017, 17:52 


31/03/16
209
Задача по линалу: принадлежит ли $2^{1/6}$ линейной оболочке $<1,2^{1/4},2^{1/2}>$ над полем $\mathbb Q$?
Пользоваться расширением полей итд. нельзя, ибо еще "не проходили".
Интуитивно понятно что нельзя, но попытки доказательства примитивными средствами упирается в то, что я составил равенство:
$2^{1/6}=a+b2^{1/4}+c2^{1/2}$, где $a,b,c\in \mathbb Q$. Если возводить это все в шестую степень - то получается какое-то дикое количество мономов.
Может есть какая-то подсказка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Принадлежит ли число линейной оболочке
Сообщение25.10.2017, 18:56 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Если делать так, то можно возвести и в третью, хотя толку ненамного больше — получится четыре весьма удручающих уравнения. Хотя с ними, вроде, можно справиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Принадлежит ли число линейной оболочке
Сообщение26.10.2017, 12:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
ikozyrev в сообщении #1258938 писал(а):
Пользоваться расширением полей итд. нельзя, ибо еще "не проходили".

А я бы воспользовался. Ну, венрнее, можно воспользоваться ни разу не говоря слово "поле" и "расширение" (непонятно зачем только). Пусть $\mathbb{Q}(\alpha)$ это векторное пространство над $\mathbb{Q}$ являющееся линейной оболочкой $<...,\alpha^{-2},\alpha^{-1},\alpha,\alpha^1,\alpha^2,...>$, тогда вам нужно доказать два простых факта

$\operatorname{dim} \mathbb{Q}(2^{1/6}) = 6$
$\operatorname{dim} \mathbb{Q}(2^{1/4}) = 4$

из них моментально следует, что $2^{1/6} \not \in  \mathbb{Q}(2^{1/4})$, а это ведь даже чуть больше, чем вам нужно.

-- 26.10.2017, 11:56 --

Первый факт можно переформулировать так, "если есть ненулевой многочлен $P$ такой, что $P(2^{1/6}) = 0$, то степень многочлена $P$ не менее 6".

 Профиль  
                  
 
 Re: Принадлежит ли число линейной оболочке
Сообщение26.10.2017, 15:15 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
А вот, допустим, попроще некоторые утверждения умеете доказывать? Скажем
1) $1$, $2^{1/3}$, $2^{2/3}$ линейно независимы;
2) $1$, $2^{1/2}$, $2^{1/3}$ линейно независимы;
3) $1$, $2^{1/2}$, $2^{1/4}$;
4) $1$, $2^{1/4}$, $2^{1/2}$, $2^{3/4}$ тоже.
Если умеете --- напишите как (поля тут использовать излишне).

 Профиль  
                  
 
 Re: Принадлежит ли число линейной оболочке
Сообщение26.10.2017, 15:22 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ikozyrev в сообщении #1258938 писал(а):
Пользоваться расширением полей итд. нельзя, ибо еще "не проходили".

kp9r4d в сообщении #1259217 писал(а):
можно воспользоваться ни разу не говоря слово "поле" и "расширение"

vpb в сообщении #1259267 писал(а):
(поля тут использовать излишне)

Во-первых, без полей нет линейных пространств. Во-вторых, если вообще без расширений, совсем: а что это, собственно, такое -- корень?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Принадлежит ли число линейной оболочке
Сообщение26.10.2017, 15:41 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
Поля, на уровне определений (типа что ${\mathbb Q}\langle 1, 2^{1/2}\rangle$ --- это поле) наверное, можно использовать. Я имею в виду никакие более сложные вещи, типа присоединение корня, то, что степень подрасширения делит степень расширения, и т.д., не нужны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Принадлежит ли число линейной оболочке
Сообщение26.10.2017, 15:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Ну, предположим, что
ikozyrev в сообщении #1258938 писал(а):
$2^{1/6}=a+b2^{1/4}+c2^{1/2}$, где $a,b,c\in \mathbb Q$.
Возведём в куб. Выразим $$2^{1/4}$ через $2^{1/2}$ ($2^{3/4}=2^{1/2)\cdot 2^{1/4}$; рассмотреть случаи, когда коэффициент при $2^{1/4}$ равен $0$ и когда не равен). Возвести в квадрат. Показать, что $2^{1/2}$ является рациональным (тоже надо рассмотреть случаи, когда коэффициент равен или не равен $0$). Примерно как-то так. Точные выражения коэффициентов через $a,b,c$ на каждом этапе не существенно, достаточно того, что они выражаются через $a,b,c$ рационально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Принадлежит ли число линейной оболочке
Сообщение26.10.2017, 16:38 


31/03/16
209
Цитата:
Пусть $\mathbb{Q}(\alpha)$ это векторное пространство над $\mathbb{Q}$ являющееся линейной оболочкой $<...,\alpha^{-2},\alpha^{-1},\alpha,\alpha^1,\alpha^2,...>$


Не совсем понимаю. Ведь $\mathbb{Q}(2^{1/6})$ - это все те числа, которые представляются как $a+b2^{1/6}$, где $a,b \in \mathbb Q$, а значит оно двумерно над $\mathbb Q$?

-- 26.10.2017, 18:25 --

Someone в сообщении #1259284 писал(а):
Ну, предположим, что
ikozyrev в сообщении #1258938 писал(а):
$2^{1/6}=a+b2^{1/4}+c2^{1/2}$, где $a,b,c\in \mathbb Q$.
Возведём в куб. Выразим $$2^{1/4}$ через $2^{1/2}$ ($2^{3/4}=2^{1/2)\cdot 2^{1/4}$; рассмотреть случаи, когда коэффициент при $2^{1/4}$ равен $0$ и когда не равен). Возвести в квадрат. Показать, что $2^{1/2}$ является рациональным (тоже надо рассмотреть случаи, когда коэффициент равен или не равен $0$). Примерно как-то так. Точные выражения коэффициентов через $a,b,c$ на каждом этапе не существенно, достаточно того, что они выражаются через $a,b,c$ рационально.

Ok, я так примерно и сделал, но думал что есть что-то более элегантное...

 Профиль  
                  
 
 Re: Принадлежит ли число линейной оболочке
Сообщение27.10.2017, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
ikozyrev в сообщении #1259294 писал(а):
Ok, я так примерно и сделал, но думал что есть что-то более элегантное...

Ну так есть же, нужно всего-то доказать, что $x^n - 2$ это минимальный многочлен для $2^{1/n}$, это ведь не очень сложно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group