К сожалению, как это доказать - пока что ума у меня не хватает
Не это надо доказывать. А то, что второе множество счётно. Ну так Вы это и доказали (правда, зачем-то в перевёрнутом виде).
Теперь докажите, что любое бесконечное подмножество натурального ряда счётно (впрочем, нормальные люди считают подобные экзерсисы праздными).
А намекал
gris Вам вот на что. Выделите на касательной любой счётный набор точек. Проведите от них лучи к центру; они вычеркнут из полуокружности аналогичный набор точек. Для всех точек прямой и полуокружности, за исключением концов окружности и выделенных, биекция Вами уже построена. Ну а между оставшимися точками биекция очевидна.
